Sar� anche vero che tutto � relativo, ma come la mettiamo con quanto
scritto da Alexis su it.scienza.fisica il giorno 24-03-06?
> Detto questo, mi � rimasto un dubbio...perch� � sbagliato affermare
> che l'equazione della curva deve rendere _MINIMO_ l'integrale ?
> Cosa c'� di sbagliato nella condizione di minimo ?
Ti hanno gi� risposto, ma mi permetto di aggiungere tre esempi
elementari:
Considera due punti A e B nello stesso mezzo: il percorso pi� breve �
quello che li congiunge in linea retta (andrebbe dimostrato anche
questo ma diamolo per scontato) e in quanto tale soddisfa il pricipio
di Fermat.
Ora cerca un percorso che vada da A a B ma sia vincolato al passaggio
per un punto P (da determinarsi) su una superficie S, una superficie
riflettente (che sar� il caso, per semplificarsi la vita. di
considerare in due dimensioni).
MINIMO===
Se la superficie riflettente � un piano puoi scrivere l'espressione
della lunghezza complessiva del percorso ottico, in funzione della
coordinata del punto P, e poi cercare il valore di tale coordinata per
cui il percorso ha un punto di stazionariet�. Indicate con a e b le
distanze dei punti A e B dal piano, e con x e (d-x) la distanza delle
loro proiezioni dal punto di intersezione P, la lunghezza del cammino
ottico �:
Sqrt[a^2+x^2]+Sqrt[b^2+(d-x)^2]
E questa � una funzione che ha un minimo relativo (facilmente
calcolabile). Dal punto di vista geometrico vedi subito, creando il
punto B' simmetrico di B rispetto alla superficie S, che il percorso
pi� breve � quello che ha la stessa lunghezze del percorso AB'. Tutti
gli altri sono pi� lunghi (perch� si discostano dal percorso in linea
retta del caso precedente).
MASSIMO===
Prendi ora una superficie riflettente sferica e i punti A e B agli
estremi di uno stesso diametro. Per un dato punto P sul bordo della
circonferenza chiamiamo x la distanza x della sua proiezione dal punto
A, allora abbiamo che la distanza dal punto B vale 2R-x e la sua
'quota' � h=Sqrt[R^2-(x-R^2)]. La lunghezza del percorso ottico �
allora
Sqrt[2R](Sqrt[2R-x]+Sqrt[x])
E questa funzione ha un bel massimo relativo per una x a met� strada.
Geometricamente, di tutti i percorsi che vanno da A a B passando per S
(ed escludendo il caso di connessione diretta di A e B), quello che
corrisponde alla condizione di riflessione � quello pi� lungo.
STAZIONARIO===
Se la superficie riflettente � un ellisse e prendi i punti A e B nei
fuochi, tutti i percorsi che congiungono i due punti passando per S
hanno lo stessa lunghezza. I fuochi si chiamano fuochi mica per niente :
). Questo � il caso in cui la lunghezza del percorso � stazionaria,
anzi credo sia il caso per eccellenza.
Il calcolo della distanza in funzione della coordinata 'libera' del
generico punto P � lasciata come esercizio allo studente.
saluti,
Peltio
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Received on Tue Mar 28 2006 - 23:38:18 CEST