"Enrico SMARGIASSI" <smargiassi_at_ts.infn.it> wrote in message
news:4422E153.6040605_at_ts.infn.it...
> Bruno Cocciaro wrote:
>
> > Ci chiediamo se la situazione di tutti i dipoli allineati (con
conseguente
> > campo magnetico ovviamente non piu' nullo) da' luogo ad una energia
totale
> > del sistema negativa o meno, cioe' ci chiediamo se il sistema con tutti
i
> > dipoli allineati puo' essere stabile.
>
> La risposta te l'ho gia' data: in presenza di campo l'energia e'
> maggiore di zero. In assenza e' zero. Quindi, in assenza di altre
> interazioni, la configurazione di campo nullo, se permessa dai vincoli
> agenti sul sistema, e' quella di equilibrio. (L'introduzione della
> temperatura non cambia queste conclusioni: l'integrale di B^2 in questo
> caso e' semplicemente l'energia libera, dunque va in ogni caso
minimizzato).
Io il motivo per il quale dovrebbe necessariamente essere cosi' non lo vedo.
Cerco di spiegarmi con un modellino. Immaginiamo il dipolo magnetico come
una piccola spira di raggio R. La spira e' in sostanza un toro di raggi R e
r<R, pero' noi ipotizziamo sempre che sia r<<R. Tale ipotesi nasconde il
fatto che noi non sappiamo in realta' quanto vale l'energia di campo
associata al singolo dipolo isolato. Dovremmo integrare B^2 sul volume, e
sulla regione >R tale integrale lo sappiamo fare (non so se esattamente,
eventualmente lo facciamo numericamente): prendiamo il campo del dipolo e
otteniamo un risultato dipendente dal momento di dipolo m. Chiamiamo Ue
(energia "esterna") il risultato di tale integrale.
Sulla regione <R il calcolo non lo possiamo fare perche' non conosciamo r.
Otteniamo un risultato che va all'infinito come il log(1/r). Naturalmente
non crediamo che sia infinita l'nergia associata con il singolo dipolo,
immaginiamo che sia finita, pero' la nostra ignoranza non ci permette di
sapere quanto vale. Chiamo Ui (energia "interna") la quantita' di energia
che sappiamo esserci ma non sappiamo calcolare. L'energia totale associata
al dipolo isolato sara' Ue+Ui.
Sappiamo anche un'altra cosa che viene imposta dalle equazioni di Maxwell:
finche' il dipolo "mantiene la propria identita'", cioe' finche' rimane vero
che dentro alla spira passa quella data corrente I, sara' sempre vero che il
flusso di B attraverso una superficie avente come bordo la spira e' uguale a
un dato valore proporzionale a I. Con "sempre" si intende che se anche il
dipolo non e' isolato, se entra in interazione con altri dipoli, quel flusso
deve sempre rimanere lo stesso.
Ora quando prendiamo un "gas" di dipoli e andiamo a calcolare la
configurazione di minima energia facciamo sempre l'ipotesi sottintesa che
per ogni singolo dipolo rimanga sostanzialmente inalterata Ui, cioe'
immaginiamo che le interazioni siano deboli e che ciascun singolo dipolo non
venga "scosso all'interno". Se pensiamo alle linee di forza che circondano
la spira, la Ue e' associata alle linee di forza che fanno il giro lungo, la
Ui e' associata alle linee di forza che fanno il giro brevissimo attorno
alla spira.
Nell'ipotizzare il dipolo puntiforme, sommando in ogni punto dello spazio il
campo magnetico generato da ciascun dipolo stiamo anche supponendo che, dopo
aver messo in interazione i dipoli, ciascun dipolo abbia lasciato "vicino
alla spira" tutte le linee di forza che c'erano quando il dipolo era
isolato. Stiamo cioe' supponendo che ciascun dipolo si tenga ben stretta la
propria Ui. In sostanza diciamo che l'energia totale e' uguale a
N*Ui+energia del campo macroscopico (N=numero di dipoli interagenti). Quando
i dipoli erano lontani l'energia totale era uguale a N*(Ui+Ue).
A questo punto risulta banale il fatto che se il sistema evolve in maniera
tale da diminuire la propria energia non puo' che "cercare" una
configurazione tale da rendere il campo macroscopico nullo.
Il punto pero' e' che la fisica *non* impone ai singoli dipoli di "tenersi
stretta la Ui". Non lo impone nemmeno se il dipolo mantiene la propria
identita', cioe' se vincoliamo la I a rimanere costante. Cio' che impone la
fisica e' che il flusso sia pari a un dato valore, pero', se la cosa fosse
conveniente dal punto di vista energetico, il sistema potrebbe anche
decidere di portare l'energia interna di ciascun dipolo a Ui'<Ui (cioe' un
po' di linee di forza che facevano il giro corto vicino alla spira vanno a
fare il giro lungo contribuendo al campo macroscopico) e a questo punto le
energie da confrontare sarebbero N*Ui'+energia del campo macroscopico con
N*(Ui+Ue). E ora non e' detto che la configurazione di minima energia sia
quella a campo macroscopico nullo. Se lo e' o meno "lo sa il sistema", noi
non lo possiamo sapere perche' non sappiamo trattare la Ui. Se per caso
fosse Ui>>Ue e il sistema trovasse un qualche modo per diminuire anche di
pochissimo (percentualmente) la Ui, allora lo farebbe di sicuro perche'
quella diminuzione di Ui compenserebbe largamente l'eventuale aumento di
energia nel campo macroscopico.
Cioe', riprendendo il modellino della spira, con ogni probabilita', per il
"gas di spire" ci sara' una r critica: sopra al valore critico la Ui non e'
tanto grande da determinare l'andamento collettivo, sotto al valore critico
la Ui domina (le sue variazioni dominano), diventa sostanzialmente
trascurabile l'energia del campo macroscopico e le spire potrebbero evolvere
verso una configurazione ordinata.
Il caso di dipoli elettrici e' ben diverso.
Facciamo il modellino di due sfere di raggio r legate da un'asta rigida
lunga L. Anche qua possiamo prendere come Ue l'intgrale del campo di dipolo
sulla regione >L mentre come Ui dovremmo prendere il campo sulla regione <L
ma tale integrale non lo sappiamo calcolare perche' non conosciamo r. Qui
otteniamo che l'energia diverge come 1/r.
Adesso la fisica impone una cosa diversa!
Se il dipolo "mantiene la propria identita' " (cioe' se le sfere mantengono
il loro raggio r e la loro carica), allora deve rimanere costante il flusso
attraverso una superficie che contenga una sfretta carica. Questo significa
che integrando E^2 sul volume compreso fra r e r+eps dovremo ottenere in
sostanza sempre lo stesso valore (sempre=anche se il dipolo interagisce con
altri dipoli), cioe' il dipolo elettrico "si tiene stretta" la propria Ui.
Ne segue che, per il dipolo elettrico, la configurazione di minima energia
deve essere sempre quella a campo macroscopico nullo.
> > poniamo che tutti i dipoli siano allineati tranne uno. Quell'unico
dipolo
> > che fa? Si allinea anche lui o no?
>
> Questo tipo di ragionamento, al massimo, potrebbe dimostrare che la
> situazione di campo non nullo sia metastabile: cioe' che mosse a una o
> poche particelle non siano sufficienti a destabilizzare la situazione.
Ok, la situazione di minima energia potrebbe anche essere quella di campo
nullo (cioe', nel modellino visto sopra, potremmo anche essere nel caso r
maggiore del valore critico), ma questo non toglie che, per data geometria
(la sfera) se uno i dipoli li orienta tutti in una direzione quelli ci
rimangono stabilmente. Cioe' siamo in un minimo di energia. Non sara',
eventualmente, il minimo assoluto ma il sistema rimane in quella
configurazione e ci torna anche a seguito di piccole perturbazioni. Almeno a
me pare che sia cosi', non vedo bachi evidenti nel discorso che facevo nel
precedente post.
Nell'equivalente caso elettrico l'equilibrio sarebbe invece instabile
(perche' il campo macroscopico e' diretto in direzione opposta alla
polarizzazione).
> Enrico Smargiassi
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Fri Mar 24 2006 - 15:00:26 CET