Neo wrote:
> Ciao ng
>
> nella descrizione del moto del pendolo l'equazione e'
> d^2\theta / dt^2 + \omega^2*sin(\theta). Se cerciamo il periodo delle
> piccole oscillazioni si puo' sviluppare il seno in serie al primo
> ordine e si ottiene un'equazione diff ordinaria. Questa vale sono se
> l'angolo e' minore di 10°. Ma se si vuole avere il periodo di
> qualsiasi oscillazione? Come si risolve l'equa. differenzaile? Il prof
> a lezione ha accennatto alle equazioni ellittiche ma non ha detto
> altro.
> Qualcuno ha del materiale in rete oppure ha voglia di abbozzare una
> spiegazione? Non necessariamente rigorosa :)
>
> Grazie Neo
E' piu' conveniente partire dall'energia,
E = 1/2 (d\theta/dt)^2 + 2 \omega^2 \sin^2(\theta/2)
e risolvendo rispetto a (d\theta/dt):
d\theta/dt = +/- \sqrt{2(E-2\omega^2 \sin^2(\theta/2) )}
Questa equazione del primo ordine si puo' risolvere direttamente, ottenendo
l'integrale (ho scelto il segno positivo per d\theta/dt)
T/4 = \int_0^{\theta_{max}} d\theta/\sqrt{2(E-2\omega^2 \sin^2(\theta/2) )}
dove \theta_{max} e' l'angolo massimo, che corrisponde al valore che annulla
l'argomento della radice quadrata. Cambiando variabile ci si riduce ad un
integrale ellittico di prima specie, vedi l'equazione (1) in
http://mathworld.wolfram.com/EllipticIntegraloftheFirstKind.html
Utilizzando l'identita' (29) al link precedente si trova l'espressione per
il periodo
T = 4/\omega K( \sin(\theta_max/2) )
(K(x) e' l'integrale ellittico completo di prima specie). All'ordine piu'
basso in x K(x) = Pi/2 e si ritrova il risultato valido per piccole
oscillazioni.
Spero di esserti stato utile, ciao.
Received on Thu Mar 16 2006 - 00:58:52 CET