Il 12 Mar 2006, 19:49, gianmarco100_at_inwind.it (Tetis) ha scritto:
> Il 10 Mar 2006, 13:52, gianmarco100_at_inwind.it (Tetis) ha scritto:
> > Il 09 Mar 2006, 22:38, "Bruno Cocciaro" <b.cocciaro_at_comeg.it> ha
scritto:
>
> Altro esercizio interessante e' valutare il logaritmo del volume
> di fase della generica distribuzione. Quello che risulta e'
> ln [V^N P(N;n1...nk)] = ln(2pi N)-(ln(2pi n1)+...ln(2pi nk)) - N
> H(n1,...,nk) + N ln(v)
Dove H e' la funzione H di Boltzmann per la densita'
discerta n_i/N nello spazio delle fasi di singola particella.
Da cui si vede che massimizzare la funzione H equivale
a massimizzare l'entropia complessiva. Non so perche' mi
e' sembrata una specie di rivelazione. Non mi ricordo in
effetti di aver letto considerazioni che generalizzano questo
esercizio, sui libri di testo, ma puo' darsi si tratti di una
trascuratezza. Nelle trattazioni che ho incontrato, da Kerson Huang,
al libro di Luca Peliti ho trovato sempre descrizioni diverse
delle funzione H. Kerson Huang la introduce come una specie di
formula magica inventata da Boltzmann che diminuisce quando
un gas termalizza ed e' posta in relazione con l'equazione di
Boltzmann. Peliti parla di una Sum _ n p(n) ln(p(n)) come dell'entropia
associata
con l'ensemble di Gibbs.
> la funzione H tende a decrescere
> irreversibilmente fino a raggiungere il suo valore di equilibrio.
> Affermazione che, come sottolineava Zermelo e' in contrasto,
> nella meccanica classica, con il teorema di Poincare'.
In meccanica quantistica la convergenza all'equilibrio e'
un problema piu' complicato. Per due ragioni: da un lato
l'approssimazione Hamiltoniana con un numero finito di
gradi di liberta' richiede di forzare le interazioni elettromagnetiche
ad una innaturale interazione a distanza, quando invece
sappiamo che con estrema facilita' le cariche in movimento
producono fotoni. Dall'altra anche ammessa questa approssimazione
hamiltoniana il sistema rimane caratterizzato da un numero
infinito di numeri reali, o meglio di coppie di numeri reali strutturati
come numeri complessi, dove prima ne bastava un numero finito.
La statistica quantistica diventa essenzialmente il problema dello
studio, in termini di teoria analitica dei numeri, di una somma
di numeri complessi. Rimane poi il problema di desumere le
proprieta' delle grandezze osservabili.
> In effetti non c'e' una ragione precisa, come riflettevano Jaynes,
> Gibbs e Van Kampen per preferire la probabilita'del microstato alla
> probabilita' della distribuzione di equilibrio nella definizione di
> entropia,
> almeno se ci si limita a sistemi nel loro limite termodinamico. Senonche'
> la prima risulta piu' intrinsecamente legata alla struttura dinamica e
> quindi esalta l'aspetto dinamico della termodinamica. Ma la seconda
> puo' essere vista invece come limite invalicabile di una funzione che
> soggetta alla dinamica, spontaneamente fluttua nei pressi di tale
> valore "termodinamico di equilibrio". Per questo motivo
> la comparsa, a livello dinamico, del fattore di boltzmann nella statistica
> quantistica rimane motivo di grande sollievo conciliando le
> due pitture.
Mi rendo conto che per chi legge potrebbe apparire un salto logico.
Quando ho mostrato che la pittura della distribuzione piu' probabile
predice la corretta entropia? Non si tratta di null'altro che di una lettura
attenta delle parole di Tolman. Se anziche' considerare la probabilita'
dei microstati accessibili alla dinamica di un gas contenuto in due scatole
separate da un setto, consideriamo un ensemble di Gibbs per campionare
lo spazio delle fasi di questo gas, otteniamo due predizioni differenti per
l'entropia complessiva. L'ensemble di Gibbs del sistema complessivo infatti
non fa preferenza fra le particelle della prima scatola e quelle della
seconda,
quindi si comporta come se il gas fosse fatto di particelle indistinguibili
e
predice allora un'entropia estensiva. Analoghe considerazioni portarono
Jaynes e Van Kampen nella soluzione del paradosso. Tutti si accorgeranno
che non si tratta di una soluzione, ma di una finzione incompatibile con
la meccanica classica.
.. Quindi alla fine la funzione zero dinamico
> dell'entropia puo' essere trattato come un termine libero purche' risulti
> essere un differenziale esatto delle grandezze termodinamiche.
Quest'idea e' espressa in modo molto confuso. Per precisarla
occorre immaginare uno spazio astratto dove trovano luogo tutti
i sistemi termodinamici chiusi, e quasi chiusi, e le loro collezioni con la
descrizione
completa del sistema, in questa descrizione c'e' annessa la specifica
dei parametri termodinamici, che caratterizzano l'equilibrio del sistema,
una coesistenza di fase potra' essere descritta ad una prima approssimazione
mediante indici aggiuntivi.
Fra gli stati dinamici le cui caratteristiche macroscopiche risultano
lontane
dalle proprieta' di equilibrio del sistema e gli stati dinamici che appaiono
all'equilibrio, corre un'operatore di evoluzione temporale. Se la
descrizione
del sistema e' hamiltoniana (o meglio e' in una certa sottoclasse dei
sistemi
hamiltoniani) questo risulta reversibile tanto in meccanica
classica quanto in meccanica quantistica. In meccanica di Schroedinger
l'inversione temporale e' un'operatore antiunitario che agisce sullo spazio
di Hilbert. In meccanica classica e' l'inversione degli impulsi.
Come in meccanica classica, anche in meccanica quantistica esiste una
distinzione di principio fra la descrizione in termini di ensemble e la
descrizione in termini di stato. Come in meccanica classica la descrizione
in termini di ensemble risente di un difetto di commutativita' rispetto
all'operazione di inversione temporale, ma l'argomento appare
piu' perentorio in ambito quantistico.
risulta naturale introdurre una sorta di
foliazione nello spazio dei sistemi termodinamici vincolati, alcuni fogli
possono essere connessi al loro interno da variazioni continue dei
parametri termodinamici, ma esisteranno anche parametri discreti e
collezioni di fogli associati con collezioni di sistemi termodinamici
chiusi.
Tutto quello che
deve fare una misura, o una funzione di una misura che pretenda di
associare una funzione di stato allo spazio delle fasi, e' dipendere
solo dai parametri termodinamici. L'estensivita' dell'entropia e' un
postulato che e' salvo finche' consideriamo la somma dei sistemi
in termini di contatto termico. Ma il fatto che non valga passando
dal sistema suddiviso in due parti al sistema formato di una parte
sola non implica che la funzione ottenuta non sia una funzione di
stato estensiva, implica solo di delimitare la proprieta' estensiva
a sistemi in contatto termico e trattare distintamente l'entropia dei
sistemi ottenuti dalla fusione di due sistemi inizialmente in contatto
termico.
Per quanto riguarda l'applicazione della meccanica classica ai
sistemi formati da oggetti interagenti per mezzo di campi occorre
una prudente considerazione della natura multifasica di questi
sistemi. Questo rende lo schema di sistema chiuso ed hamiltorniano
una forzatura della fisica effettiva del sistema, che occorre tematizzare
adeguatamente. Anche se difficile da maneggiare lo strumento piu'
adeguato e' la teoria semiclassica dei sistemi quantistici. Va detto
che si riaffaccia da qualche tempo, sempre piu' spesso, sulla scena
anche la teoria generale della simmetria per la statistica dei campi
classici non lineari. Un campo classico, diversamente da un sistema
classico con finiti gradi di liberta', ha infiniti gradi di liberta' e con
infiniti
gradi di liberta' compaiono eccezioni dinamiche di misura nulla, che
rendono insostituibile la trattazione in termini di ensemble. Puo' essere
che un giorno questi due schemi convergeranno in una teoria unificata,
in cui il punto di vista classico e quello quantistico sono solo due aspetti
dello stesso schema. Mancando questa sintesi si assiste a volte ad un
giusto revival di temi che erano stati accantonati, in cui i toni partigiani
per gli argomenti quantistici e per quelli classici hanno una coloritura
spesso anacronistica. Questo dipende dal fatto che a volte si trovano
a discutere dello stesso soggetto persone che hanno un riferimento
intenzionale differente. Per cui se un sostenitore dei metodi classici
pretende giustamente di difendere i successi del suo punto di vista,
un fisico delle particelle gli chiedera' inevitabilmente conto di tutto
un elenco di fenomenologie che sono aliene, a partire dalla costante
di Planck per giungere alle pieghe piu' recondite della fisica delle
particelle. E viceversa. Il mondo della fisica dei sistemi di mezzo usa
metodi ibridi che danno conto dell'uno e dell'altro aspetto, ed in
quell'ambito si intravede una formazione teorica con tecniche di
astrazione che somigliano alla fase nebulosa di una rivoluzione
scientifica.
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Received on Tue Mar 14 2006 - 14:23:19 CET