Re: Pendolo

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: Thu, 16 Mar 2006 00:41:03 +0100

Neo wrote:
> Ciao ng
>
> nella descrizione del moto del pendolo l'equazione e'
> d^2\theta / dt^2 + \omega^2*sin(\theta)....

  Come si risolve l'equa. differenzaile? Il prof
> a lezione ha accennatto alle equazioni ellittiche ma non ha detto
> altro.

<modo_polemico_on>
Quello di accennare alle *funzioni* ellittiche e' un malvezzo che mi
piacerebbe non sentire cosi' spesso come mi succede: o si prova a
spiegare qualcosa oppure equivale a nascondersi dietro il "latinorum"
dei nomi di funzioni speciali che non aiuta nessuno a capire qualcosa di
piu'.

Tanto piu' che non sarebbe poi cosi' complicato spendere una mezz'
ora a dare qualche informazione realmente utile.
<modo_polemico_off>

Un modo standard per cercare le soluzioni di un' eq. diff. e' di usare
l' eq. come "generatrice" dello sviluppo in serie della soluzione.

L' esempio dell' oscillatore armonico (caso delle piccole
oscillazioni) e' abbastanza istruttivo e serve a capire come muoversi
nel caso piu' complicato del pendolo fisico.

Partiamo dall' eq. diff.:

  d^2\theta / dt^2 = - \omega^2*\theta

Se conosciamo \theta(0) e d \theta / dt (0) l' equazione, valutata
a t=0 ci da' il valore di d^2\theta / dt^2. Se deriviamo l'
equazione rispetto a t otteniamo d^3\theta / dt^3 in funzione di d
\theta / dt (0) (noto). La derivata ulteriore dell' eq. connette il
valore di d^4\theta / dt^4 a quello di d^2\theta / dt^2 (0) e cosi'
via, ogni derivata ulteriore (nell' origine) viene ad essere collegata
ad una derivata (gia' calcolata) di due ordini inferiore.

In tal modo, a fronte dell' indipendenza delle condizioni iniziali
\theta(0) e d \theta / dt (0), si possono costruire due serie
indipendenti di x che soddisfano l' equazione. Un' analisi dei
coefficienti delle due serie permette di verificare che si tratta delle
serie per sin(omega t) e cos(omega t). Questo perche' conosciamo l'
espansione in serie di potenze di sin(t) e cos(t).

In generale la relazione per i coefficienti potra' essere piu'
complicata ma, se riusciamo a determinare i coefficienti delle due
serie (soluzioni) indipendenti abbiamo definito per serie due funzioni
indipendenti che risolvono l' equazione con determinate condizioni
iniziali.

Dopo, dipendera' da quanto siamo bravi nello studio di funzioni
definite mediante serie per scoprire le proprieta' delle funzioni cosi'
  definite. Ma anche senza uno studio dettagliato di queste funzioni,
le serie ne permettono il calcolo numerico.

Che poi queste serie abbiano nomi esotici come funzioni ellittiche o
altro, non ha molta importanza pratica.

Giorgio
Received on Thu Mar 16 2006 - 00:41:03 CET