"Valter Moretti" <vmoretti2_at_hotmail.com> wrote in message
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> Elio Fabri ha scritto:
>
> > Pero' non conosco l'espressione "orizzonte di Killing". Di che si
> > tratta?
>
>
> Pi� precisamente sono orizzonti di Killing biforcati. E' una
> struttura universale
> in cui si ha un campo vettoriale di Killing definito su tutto lo
> spaziotempo
> che si annulla (cio� diventa il campo che vale zero ovunque) su una
> 2-superficie
> di tipo spazio detta biforcazione.
> Con qualche altra ipotesi generale si produce uno spaziotempo analogo a
> quello di
> Minkowski o di Kruskal. In tal caso il campo di Killing �
> rispettivamente il boost
> ed il campo di Killing che appare come il tempo di Schwarzschild nelle
> regioni
> statiche (notare che il campo vettoriale di Killing � comunque
> definito su
> tutto lo spaziotempo).
Ho voluto approfondire un aspetto, forse
secondario, ma per me affascinante di questa
struttura. Quello della espressione delle
geodetiche in termini di un parametro dal
campo di accelerazione. A questo proposito
Wald accenna al fatto che in coordinate di
Kruskal la singolarita' nel campo di accelerazione
(la derivata di t rispetto a tau si annulla)
che emerge in coordinate di Schwartzschild
viene rimossa. Cercando di unirmi alla vasta schiera
di quelli che sostengono questa tesi ho pero'
incontrato delle difficolta'. Voglio proporle
alla vostra gentile attenzione. Non fatico a
convincermi che la metrica non presenta piu'
singolarita' sull'orizzonte degli eventi, ma
se cerco di integrare il campo di accelerazione
le cose non vanno lisce come mi aspetterei.
Ho deciso di non saperne
nulla di Schwartzschild, orizzonti etc...
l'approccio sara':
"mi e' stata data una metrica da studiare e
questa e' la metrica di Kruskal".
In primo luogo le equazioni di Lagrange:
in questo caso generalmente non se ne fa
uso perche' dovrebbero portare a notare
che la lagrangiana e' una costante del moto.
Cio' discende in modo del tutto generale,
nelle lagrangiane di Riemann, dall'invarianza per
riparametrizzazione dell'azione quando la
si scrive in termini di Int[sqrt(L) d\tau].
Tuttavia ho voluto vedere a cosa mi portavano
in questo caso. Nel caso lorentziano portano
solo a X'' = 0 Y''= 0. In accordo con il fatto che
X'^2 - Y'^2 deve essere una costante.
Nel nostro caso se scriviamo la lagrangiana
in coordinate di Kruskal, indicando con k(r)
la funzione 1/(r e^r) abbiamo k(r)(t'^2-x'^2)
ed r(u,v) = h(t^2-x^2) le equazioni di lagrange
sono dunque:
d/dtau(k(r) x') = [ x g(r)(t'^2-x'^2)]
d/dtau(k(r) t') = [ t g(r)(t'^2-x'^2)]
dove g(r) e' la derivata di k(r)=k(h(t^2-x^2)
rispetto a t^2-x^2. Non importa l'espressione
esplicita di g(r), comunque per trovare
un'espressione esplicita noto che dalla equazione
vincolare (r-1)e^r = (x^2-t^2) trovo
r'r e^r=1 dunque r' = 1/(r e^r) e dunque, se non
ho sbagliato i conti, da k(r) = 4/(r e^r)
discende g(r) = 4 (r+1)e^(-2r)/r^3.
Ora esplicitanto la derivata rispetto a tau,
trovo:
2g(r) (t'-x') x'+k(r) x'' = [ x g(r)(t'^2-x'^2)]
2g(r) (t'-x') t'+k(r) t'' = [ t g(r)(t'^2-x'^2)]
guardando in faccia queste espressioni ho paura, faccio
un passo indietro ed osservo che il sistema iniziale
implica, eccetto per le geodetiche di tipo luce, dove
t'^2-x'^2=0 l'identita':
t(k(r)x')' = x(k(r)t')'
dove l'apice indica la derivata rispetto a t
aggiungendo ad ambo i membri x't' k(r),
risulta a meno di essere su una geodetica
luce:
[k(r)(tx'-t'x)]'=0
quindi trovo questa costante del moto che
e' valida sempre eccetto che t'^2-x'^2 = 0.
Questa stessa costante la trovo se implemento
la simmetria di boost. Infatti trovo
facilmente dopo avere sostituito la variazione
dell'azione con la variazione delle
X,T che, poiche' i boost applicano geodetiche
in geodetiche, dato che conservano la forma
della lagrangiana, allora:
Int[k(r) x't']dtau = 0
Da cui trovo che sono entrambi nulli gli integrali
di t[k(r)x']' e di x[k(r)t']'. Come anche la loro
differenza. Ovvero si annulla l'integrale:
0 = Int[k(r)(tx'-t'x)]'dtau =
= k(r)(tx'-t'x)|tau1- k(r)(tx'-t'x)|tau2
ovvero:
[k(r)(tx'-t'x)]' = 0
Chiamiamo K questa costante.
K = k(r)(tx'-t'x)
Dopo aver fatto tutto questo
osservo che, fissati L e K,
il sistema L(t',x',t,x) K(t',x',x,t)
descrive un campo di velocita'
in funzione di x,t. Quindi sfruttando
le costanti del moto il sistema iniziale
di secondo ordine e' ricondotto ad un
sistema del primo ordine. Eventuali problemi
di orizzonte nell'evoluzione
emergerebbero dallo studio di questo campo,
se osserviamo la costante K possiamo riconoscere
che k(r) e' sempre positiva e che il termine
fra parentesi e' essenzialmente il prodotto
vettore di (t,x) con il campo (t',x'). Quindi
il campo di velocita' sta sempre dallo stesso
lato rispetto alle rette che escono dall'origine,
eccetto nel caso che K=0 allora si ha che
il campo e' un campo stellato e risulta di genere
spazio fuori dal buco nero, tutte le
geodetiche di questo si allontanano
dall'origine verso l'infinito oppure si approssimano
all'origine degli assi. (punto che corrisponde
ad r=1 e tempo di Schwartzschild finito quindi
non e' un punto di cui abbiamo un'interpretazione
in coordinate di Schwartzschild, se non che invece
si tratta della varieta' di biforcazione, ovvero
di tratta di una varieta' R x S^2).
Se invece K e'
una grandezza maggiore di zero ed abbiamo un valore
di L per cui, in un punto esterno al buco nero,
il vettore (t',x') punta verso la singolarita',
ne risulta che anche sull'orizzonte degli eventi
deve aversi questa situazione. Tuttavia da
quest'analisi non possiamo ancora escludere,
finche' non risolviamo
il sistema di equazioni in L e K (che e' quadratico),
che il campo diverga man mano che
si approssima all'orizzonte degli eventi.
Questo comporterebbe solo che l'orizzonte degli
eventi venga raggiunto in un punto all'infinito.
Ma, noto, l'orizzonte sarebbe raggiunto
in tempo proprio finito perche'
K non nullo forza ad avvicinarsi all'orizzonte
degli eventi in tempo proprio finito. Ad ogni
modo forse un poco di algebra viene in soccorso,
infatti poiche' L = k(r) (t'-r')(t'+r') si verifica
che il caso di divergenza di t' ed r' implica
t'-r' -> 0 tuttavia questo e' pienamente compatibile
con la circostanza che -tx'+xt' -> x(t'-x')
quindi se t'+x' diverge, allora anche x diverge e
t'-x' tende a zero.
A questo punto, comunque non ho resistito
alla curiosita' di vedere se questa costante
ha qualcosa a che vedere con la costanza di
(1-1/r)t' nelle coordinate si Schwartzschild
e sostituendo ad X e T le loro espressioni in r,t
trovo in effetti la solita costante, a meno di
un fattore numerico. Un altro modo di vedere cosa
si verifica in effetti senza dovere risolvere
il sistema quadratico, puo' essere utilizzare
le note soluzioni per r,t e tradurle nelle
coordinate X,T. Bene se noi consideriamo ad
esempio una particella con energia pari ad 1
sappiamo che:
t = -2/3(r^(3/2))-2(r^(1/2))+ln((r^1/2+1)/(r^(1/2)-1))
formula 5-7 e 5-8 del corso di Fabri, Astr-rel
quello degli anni prima del 2003, mentre:
u' = (re^(r/2)/sqrt(r-1)) [r' cosh(t/2) + E senh(t/2)]
v' = (re^(r/2)/sqrt(r-1)) [r' senh(t/2) + E cosh(t/2)]
ora quando r tende ad 1 t->+OO. Quindi
cosh(t/2) e senh(t/2) -> e^[(t/2)/2]
dunque il comportamento asintotico in r = 1
sembra essere il seguente:
re^(r/2)*sqrt[(sqrt(r)+1)/(|sqrt(r)-1|)]/sqrt(r-1)
E questo sembra divergere. Convergerebbe
solamente se considerassimo il tempo in
funzione di r lungo una geodetica di tipo
luce. E d'altra parte se quell'integrale convergesse,
questo dovrebbe essere piu' grande, perche' il tempo
corrispondente allo stesso r e' maggiore lungo una
geodetica di particella massiva che non lungo una
geodetica ottica. Ho sbagliato qualcosa probabilmente,
ma non mi riesce di uscirne. Esiste una reference da
guardare per tranquillizzarsi, dove viene illustrata
e calcolata almeno una geodetica di particella massiva,
in coordinate di Kruskal che prosegue oltre l'orizzonte
degli eventi? Non importa che siano coordinate di
Kruskal. So che nelle trattazioni moderne si insiste
sul campo di killing conforme. Puo' avere qualche utilita'
in questo contesto, dove mi posso documentare?
Se siete arrivati fino in fondo a leggere siete
personaggi solidi e temprati e vi ringrazio tantissimo
per l'attenzione. Se avete anche una indicazione di
lettura che mi aiuti a sbloccare questa difficolta',
non solo vi ringrazio ma mi impegno a dividere con voi
un caffe'. Purche' in Italia e con tempi commisurati
alla distanza.
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Received on Fri Mar 10 2006 - 20:34:27 CET