Il 10 Mar 2006, 13:52, gianmarco100_at_inwind.it (Tetis) ha scritto:
> Il 09 Mar 2006, 22:38, "Bruno Cocciaro" <b.cocciaro_at_comeg.it> ha scritto:
> Partiamo sempre con la partizione (J,K) e sia anche, per semplicita',
> V(J)=V(K): consideriamo la distribuzione n(J)=n(K)=N/2=10^5.
> Allora gli stati di Boltzmann hanno il volume:
> [2^(N/2) V(J)] x [2^(N/2) V(K)] = 2^N V(J) V(K)
Dormivo? Scusami Bruno, scusatemi tutti per la confusione.
Ho commesso un errore lapaliciano, questo non e' un volume di
fase per N particelle. Altra questione e' che sto considerando
un esempio di sistema un poco astratta in cui non c'e' il vincolo
sull'energia.
Il volume e' il volume elementare V(J)^(N/2) V(K)^(N/2)=(V/2)^N
ora, questo e' un volume di fase per un singolo microstato associato
con i numeri di occupazione N/2 ed N/2.
Moltiplicando per il numero di modi possibili di scegliere N/2
particelle fra N, che sono C(N,N/2) trovo il volume di fase
cercato: C(N,N/2) (V/2)^N e la probabilita' dello stato corrispondente
e' ottenuta dividendo per V^N. In generale otterremo un volume di fase della
forma:
C(N; n1,...,nk) (V/(V/v))^N = C(N;n1,...,nk) v^N. infatti il numero di
elementi k della
partizione e' proporzionale a V/v. Dove V e' il volume di fase
complessivo nello spazio delle configurazioni e v e' il volume elementare.
La probabilita' di questa distribuzione sara' quindi C(N;n1,...,nk) (v/V)^N
Il volume di fase complessivo e' semplicemente V^N e non dipende dalla
scelta del volumetto v. Ad ogni modo, anche se non c'e' il problema
dell'arbitrarieta'
dello zero, pure questa entropia: N ln(V) risente della non estensivita'.
Uno dei tanti modi ad hoc che mi e' capitato di escogitare, in
momenti di delirio, per correggere l'entropia distribuzionale in
modo che risulti additiva e' di assegnare come volume disponibile
quello di singola particella, quindi non gia' il volume V bensi' un volume
V/N dove
N e' il numero di particelle indistinguibili.
Come dire che rinormalizziamo lo zero dell'entropia in funzione del
numero di particelle. Con questo accorgimento risulta una grandezza
ovviamente estensiva perche' V/N rimane invariato quando aboliamo
il setto. Questo genere di riscalamente e' esattamente quello che si
ottiene introducendo ad hoc il fattore di Boltzmann (si chiama cosi'
perche' di questo magico fattore Boltzmann teneva conto, ben prima
dell'analisi critica di Jaynes e Gibbs): una correzione
1/N! al volume di fase complessivo.
Continuando a studiare il sistema giocattolo di cui sopra:
la distribuzione piu' probabile e' quella equiprobabile:
n_i = N/k
la cui funzione H risulta Sum_i (n_i/N) ln(n_i/N) = - ln(k).
Mentre, ancora, l'entropia intesa come logaritmo del volume
di fase degli stati corrispondenti a questa distribuzione risulta
essere, dopo aver lasciato da parte i termini infinitesimi nel
limite termodinamico: N ln(V) esattamente come prima.
Altro esercizio interessante e' valutare il logaritmo del volume
di fase della generica distribuzione. Quello che risulta e'
ln [V^N P(N;n1...nk)] = ln(2pi N)-(ln(2pi n1)+...ln(2pi nk)) - N
H(n1,...,nk) + N ln(v)
che nel limite termodinamico si approssima semplicemente a:
N [ln(v)- H(n1,...,nk)] qui H e' la funzione H di Boltzmann associata
con la distribuzione n1...nk. Il risultato e' N ln(kv) = N ln(V) nel
caso della distribuzione "di equilibrio" il teorema di Boltzmann
come si ricorderanno i piu' colti riguardava proprio la predizione che
sotto ipotesi di caos molecolare la funzione H tende a decrescere
irreversibilmente fino a raggiungere il suo valore di equilibrio.
Affermazione che, come sottolineava Zermelo e' in contrasto,
nella meccanica classica, con il teorema di Poincare'.
In effetti non c'e' una ragione precisa, come riflettevano Jaynes,
Gibbs e Van Kampen per preferire la probabilita'del microstato alla
probabilita' della distribuzione di equilibrio nella definizione di
entropia,
almeno se ci si limita a sistemi nel loro limite termodinamico. Senonche'
la prima risulta piu' intrinsecamente legata alla struttura dinamica e
quindi esalta l'aspetto dinamico della termodinamica. Ma la seconda
puo' essere vista invece come limite invalicabile di una funzione che
soggetta alla dinamica, spontaneamente fluttua nei pressi di tale
valore "termodinamico di equilibrio". Per questo motivo
la comparsa, a livello dinamico, del fattore di boltzmann nella statistica
quantistica rimane motivo di grande sollievo conciliando le
due pitture. D'altra parte ad un'attenta riflessione si puo' comprendere
che lo spostamento dello zero ottenuto introducendo il fattore di Boltzmann
e' legittimo ma arbitrario con riferimento a sistemi che sono descritti
dalla
meccanica hamiltoniana classica.
Nella termodinamica i due sistemi con il muro e
senza il muro sono due sistemi differenti, non c'e' nulla, nel paradosso
di Gibbs che violi il secondo principio, in quanto il reinserimento del
setto
riconduce allo stato di partenza ed alla stessa entropia che si aveva prima.
Risulta insoddisfacente il fatto che lo zero sia dove sia.
Quindi si tratta in un certo senso di un falso paradosso. Il fatto che si
possano
osservare effetti termodinamici come una variazione oggettiva di energia
interna
nel mescolamento di due gas e' un fatto che ha solo in parte a che fare con
questioni entropiche. Questo fenomeno dipende essenzialmente dai
potenziali chimici ovvero dall'energetica interna che risulta diversa quando
le distanze medie delle particelle omologhe aumentano e compaiono le
interazioni fra particelle differenti. Potremmo esser liberi, volendo, anche
di cambiare lo zero dell'entropia in corso di mescolamento. In altre parole,
andando oltre le intenzioni della termodinamica nulla vieta di aggiungere
alla funzione di stato termodinamico una funzione di stato dinamico. La
termodinamica
non risente in alcun modo, della densita' effettiva, nella misura in cui
gli effetti termici legati allo scambio di calore sono ascrivibili in larga
misura alla variazione delle grandezze macroscopiche come la pressione
media ed il volume medio. Quindi alla fine la funzione zero dinamico
dell'entropia puo' essere trattato come un termine libero purche' risulti
essere un differenziale esatto delle grandezze termodinamiche.
Quello che e' interessante studiare e' comunque se e cosa cambia, riguardo
alla distribuzione piu' probabile, utilizzando un volume V/N anziche' un
volume V. Essenzialmente andiamo ad identificare fra loro
le N! distribuzioni nello spazio delle fasi che risultano una dall'altra
dall'azione delle permutazioni. In questo senso cio' a cui corrisponde
l'introduzione del fattore di Boltzmann non e' altro che una diminuzione
di pretese circa la descrizione di uno stato. La probabilita' dello stato
(n1,n2,...,nk) rimane essenzialmente invariata, ma e' l'interpretazione
di questa probabilita' che risulta differente. In luogo del volume di fase:
C(N,n1,...,nk) (V/k)^N) da confrontare con il volume di fase V^N
avremo il nuovo volume di fase:
N!/(n1!...nk!) [(V/k)^N / N!] = (v^N)/(n1! ... nk!) da confrontare con
(V^N)/N!
L'effetto e' comunque artificioso, almeno dal mio punto
di vista. Forse qualcuno ha un modo piu' naturale di vedere
l'argomento? Cioe' ho capito che l'idea e' quella di vedere lo
spazio delle fasi di N particelle identiche, ma indistinguibili,
come una riduzione (analoga alla riduzione alla prima cella
di Brillouin dello stato solido) dello spazio delle fasi, se mi limito
allo spazio delle configurazioni di due particelle in una dimensione
essenzialmente risulta che i punti simmetrici rispetto alla bisettrice
risultano identificati. Analogamente si puo' pensare lo spazio
di N particelle distinguibili come tassellato di copie identiche di un
cono fondamentale. Quello che non mi piace di questo procedimento
e' il fatto che non mi riesce di immaginare un passaggio continuo dal
caso di N particelle identiche indistinbuibili al caso di N particelle
"moderatamente indistinguibili", se rendo l'idea?
Mi risulta allora piu' congeniale pensare la distinguibilita' classica
come una caratteristica emergente in un complesso di processi
dinamici distinguibili che agiscono su "atomi" essenzialmente
indistinguibili. Scusate ancora la confusione. Ed anche la prolissita',
ma avrete capito che trovo questi argomenti appassionanti.
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Received on Sun Mar 12 2006 - 19:49:11 CET