Re: Il relativismo dell'entropia

From: Bruno Cocciaro <b.cocciaro_at_comeg.it>
Date: Sat, 4 Mar 2006 22:09:59 +0100

"Enrico SMARGIASSI" <smargiassi_at_ts.infn.it> wrote in message
news:44095200.90000_at_ts.infn.it...

> Quello che dice la pagina che ti ho indicato e' che il disordine puo'
> essere definito senza ambiguita' solo riguardo alla probabilita' con cui
> un sistema puo' essere trovato in uno stato microscopico: piu' sono gli
> stati in cui si puo' trovare, maggiore il "disordine" e maggiore
> l'entropia. In altri casi, i tranelli sono sempre in agguato.

Comunque a me questa storia ha sempre lasciato irrisolta la questione
seguente.
Tu dici "piu' sono gli stati" in cui si puo' trovare maggiore e' l'entropia.
E' certo che il "conto" degli stati (conto che, come sottolinei, e'
statistico) si puo' effettuare solo una volta che siano state assegnate le
dimensioni della celletta unitaria. Ogni volta che ho visto fare questo
conto ho visto dare per sottinteso il fatto che la celletta unitaria i-esima
sia comunque sufficientemente grande da contenere un numero di particelle
Ni>>1. Non ricordo di aver visto esplicitata questa ipotesi e comunque non
vedo per quale motivo debba essere fatta. Certo, se Ni>>1 si ha che le
variazioni di entropia (cosi' come le variazioni delle altre variabili di
stato) non dipendono dalle dimensioni della celletta unitaria, pero', almeno
finche' non si vede un buon motivo per il quale l'ipotesi Ni>>1 deve essere
fatta, mi pare che possa essere interessante andare a vedere cosa succede se
viene violata tale ipotesi. Sto naturalmente immaginando di essere in
situazione classica, cioe' non abbiamo la minima idea di cosa possa essere
la costante di Planck.

Immaginiamo il solito gas nella scatola e sia N il numero totale di
particelle. Semplifichiamo ancora di piu' la situazione e immaginiamo che lo
stato microscopico sia definito solo dalla posizione delle particelle.
Quindi lo spazio delle fasi coincide con il volume del gas, cioe' ogni
singola particella puo' occupare un punto qualsiasi interno al volume V (e
tutti questi punti sono equiprobabili).
Dividiamo il volume V in 2 sole cellette. Lo stato piu' probabile (quello di
massima entropia) sara' ovviamente quello con N/2 particelle in ogni
celletta.
Nel calderone degli stati microscopici da associare allo stato macroscopico
di massima entropia ci abbiamo messo anche lo stato S:
S = meta' delle particelle sono accumulate nell'angolo in basso a destra,
l'altra' meta' e' accumulata nell'angolo in alto a destra.
Lo sappiamo che S *non e'* uno stato "ordinato", pero' il modo che abbiamo
scelto per calcolare l'entropia (cioe' la scelta di dividee il volume in 2
sole cellette) e' tale da far si' che se lo stato microscopico fosse S noi
diremmo "Beh, siamo in uno stato di elevata entropia".

Andiamo nel limite opposto: dividiamo il volume in M cellette con M>>N.
In questo caso otterremo in sostanza che tutti gli stati microscopici, Si,
che saranno di fatto investigati dal sistema saranno sempre costituiti da N
cellette occupate da una particella e M-N cellette vuote. Tutti questi stati
Si hanno la stessa entropia che e' anche la massima. Solo molto raramente
potra' verichicarsi uno stato con 1 celletta che ha 2 particelle, N-2
cellette con una particella, e M-N+1 cellette vuote.
In questo limite (cioe' se M>N) noi diremo sostanzialmente sempre che il gas
e' in uno stato di elevata entropia (non riusciremmo proprio ad effettuare
in alcun modo una trasformazione tale da far variare l'entropia del gas).

In sostanza tanto nel limite numero di cellette << N quanto nel limite >>N
ci sono problemi, e i problemi sono dovuti al fatto che considereremmo ad
alta entropia anche stati che sono ordinati (potremmo accorgerci del fatto
che sono ordinati cambiando il volume delle cellette e vedendo che la loro
entropia in quel caso sarebbe molto minore del massimo).
I problemi visti sopra si risolvono se si sceglie un numero di cellette
dello stesso ordine grandezza di N.
E' un po' come quando si raccolgono dei dati sperimentali e poi si
costruisce un istogramma. Se facciamo le "cellette" troppo grandi non
osserviamo niente perche' l'istogramma viene 0,0,0,0,0, 10000, 0,0,0,0. Se
le cellette sono troppo piccole viene 0,0,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0 ...
Insomma, il numero di dati raccolti e la forma della curva "suggeriscono"
l'ordine di grandezza della divisione sulla quale si deve basare
l'istogramma.

Tenendo conto del fatto che in realta' lo stato microscopico e' definito non
solo dalle posizioni ma anche dagli impulsi si ha che una singola particella
puo' esplorare nello spazio delle posizioni una regione di volume V e nello
spazio degli impulsi una regione che e' ampia piu' o meno (m*K*T)^(3/2)
(m=massa delle particelle, K=costante di Boltzmann, T=tempeatura assoluta).
Il volume totale esplorabile dalla singola particella e' pari a
V*(m*K*T)^(3/2).
Per evitare i problemi visti sopra la singola celletta dovrebbe avere un
volume pari a (V/N)*(m*K*T)^(3/2). Tenendo conto dell'equazione di stato
tale volume si puo' scrivere, a parte qualche fattore,
(1/p)*m^(3/2)*(K*T)*(5/2) (p=pressione del gas).
Utilizzando come valori numerici
m=massa dell'elettone=9*10^(-31) Kg
p=1 atm=10^5 Pa
K*T=1.4*10^(-23) * 300 J
si ottiene
9.8*10^(-101) (J s)^3.
Estraendo la radice cubica si ha 4.6*10^(-34) J s, cioe' un valore molto
vicino alla costante di Planck (6.6*10^(-34) J s). Beh, sara' un caso, poi
non si vede perche' si dovrebbe usare proprio quella massa e quella
pressione (l'idrogeno interstellare, per quanto ne so, da' le stesse
identiche righe dell'idrogeno "normale", ed e' ad una pressione decisamente
piu' bassa di una atmosfera), pero' rimane il mio dubbio riguardo al fatto
che numero totale di particelle+volume totale dello spazio delle fasi
dovrebbero "suggerire" il volume "giusto" della celletta da usare per
calcolare l'entropia.

> Enrico Smargiassi

Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Sat Mar 04 2006 - 22:09:59 CET

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