Daniele Fua ha scritto:
> Mi sono incartato su questo esercizio apparentemente elementare che,
> pero', secondo me denota anche un certo sadismo nel suo inventore.
Non solo sadismo, come vedrai...
> ...
> C'e' un modo rigoroso di trattare il problema?
Nella formulazione che hai dato non c'e', perche' il problema e'
autocontraddittorio a meno di ipotesi particolari che nell'enunciato
non sono specificate.
> Si, era cosi. Comunque direi che il problema ormai e' risolto grazie
> al tuo suggerimento del metodo. Per continuita' J dipende solo da y e
> utilizzando la relazione di Ohm che hai scritto e' possibile trovare
> l'integrale di E tra le due facce e quindi la ddp; poi con altri
> calcoli elementari (un'integrazione in y) si arriva alla soluzione.
Eh no, troppo facile...
Riassumo le ipotesi:
1) Il mezzo ha resistivita' r(x,y) (uso r unvece di \rho per ovvi
motivi).
2) E' assegnato il potenziale sulle facce x = 0, x = c.
Prendo V(x=0) = 0, V(x=c) = V0.
3) La densita' di corrente ha solo la componente x.
Possiamo trascurare la coordinata z, il che semplifica le formule e
permette figure nel piano...
Da 3) e da div j = 0 segue _at_j_x/_at_x = 0, quindu j_x dipende solo da y:
j_x = f(y).
Da E = r*j allora E_x = r(x,y)*f(y) mentre le altre componenti di E
sono nulle.
Imponiamo rot E = 0: solo la componente z del rotore non e' banalmente
nulla, e dice _at_E_x/_at_y = 0.
Dunque r(x,y)*f(y) dipende solo da x: poniamo
r(x,y)*f(y) = g(x).
E' dunque necessario che r(x,y) sia fattorizzata: r(x) = g(x)/f(y).
Altrimenti le ipotesi sono in contraddizione.
In altre parole, per una r(x,y) generica *non e' vero* che j possa
essere diretta lungo x.
E allora il problema si complica parecchio...
Da qui in poi si procede in modo ovvio.
Un'alternativa sarebbe di suppore b<<c.
Dato che sulle facce y=0 e y=b j e' certamente diretta lungo x, allora
lo stesso sara' vero _approssimativamente_ in ogni punto.
--
Elio Fabri
Received on Sat Mar 04 2006 - 20:34:24 CET