Il 24 Feb 2006, 09:08, "Valter Moretti" <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
> >l'ultima riga non l'avevi letta?
> Ciao, scusa no, non l'avevo proprio letta. Scusa sono molto incasinato.
> Forse non dovrei nemmeno cercare di rispondere a quello che riesco
> a leggere nei momenti di pausa.
> Ciao, Valter
Grazie di tutto. Penso di essere giunto ad una strategia per ottenere
un accordo interno fra
le diverse proposizioni. Quelle che fai tu, quelle che ha fatto il
prof. di metodi di TV, e quelle del mio prof. di analisi. La sintesi
procede per punti. Ti lascio una sola domanda per quando
troverai il tempo di leggere. E' in parentesi fra qualche riga.
REQUISITI MINIMI.
Lo spazio di Sobolev H^(1,p)(\Omega) definizione, unicit� delle
derivate deboli. Il caso \Omega = (0,1) ogni elemento di
H^(1,p)(\Omega) coincide quasi ovunque con una funzione
assolutamente continua, la cui derivata coincide con la derivata
debole.
REQUISITI EVENTUALI MINIMI PER IL CASO n-dimensionale.
Lo spazio H_0^(1,p)(\omega) definizione, stime h�lderiane
e risultato di compattezza. Esempio di una funzione di Sobolev
discontinua in un aperto di R^2. Norma negli spazi di Sobolev:
H^(1,p)(\omega)
� uno spazio di Banach, H^(1,2)(\omega) � uno spazio di Hilbert.
PER IL MOMENTO GUARDIAMO 1-D.
OPERATORE IMPULSO DI DIRAC: equivalenza del dominio H^1 al
dominio delle funzioni assolutamente continue.
Cominciamo con l'osservazione che esiste una proiezione dalle
funzioni di H^(1,p)(S^1) nelle funzioni assolutamente continue
che si ottiene derivando il loro integrale. Questa proiezione conserva
la derivata debole, quindi possiamo restringere effettivamente il
dominio alle funzioni assolutamente continue in S^1. Queste
funzioni in particolare sono continue e quindi gli indici di difetto si
annullano.
GENERALIZZAZIONI NON ESSENZIALMENTE AUTOAGGIUNTE
tramite deformazioni unitarie del dominio che introducono
discontinuita'.
Tuttavia possiamo trasformare il dominio tramite una trasformazione
unitaria: Chi_A1(x) exp(\theta_1 x) +...ChiAm(x) exp(\theta_m x)
in un insieme di funzioni che non risultano piu' assolutamente
continue ma solamente assolutamente continue a tratti. Su ogni
tratto di assoluta continuita' possiamo definire univocamente
un operatore unitario essenzialmente autoaggiunto a patto di
restringere ulteriormente il dominio iniziale con la condizione
che i punti di contatto fra domini distinti siano nodi delle funzioni.
Consideriamo l'operatore definito come derivata. Questa
derivata non e' definita ovunque, ma solamente entro i
tratti A_i ed eccetto un insieme trascurabile di punti dove
si ha oscillazione globalmente limitata. Quindi il risultato
dell'applicazione dell'operatore di derivazione sono funzioni
integrabili ovvero elementi di L^1. Risulta che l'operatore
cosi' definito in questo dominio di funzioni ammette una
estensione essenzialmente autoaggiunta su ogni dominio.
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(Queste estensioni sono definite su tutto lo spazio di Hilbert
o solamente su un sottospazio denso?).
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AZIONE ATTIVA E PASSIVA DELLE TRASFORMAZIONI SULL"OPERATORE
DI DIRAC. CLASSIFICAZIONE DEGLI IMPULSI GENERALIZZATI
TRAMITE L'AZIONE DI UNA CLASSE DI SOTTOGRUPPI
DEL GRUPPO UNITARIO.
Abbiamo gia' studiato l'azione passiva delle trasformazioni
semplicemente si tratta di conservare il dominio dell'impulso
scegliendo adeguatamente il dominio dell'operatore U*_at_U,
come U*D(_at_) [@ sta per operatore differenziale che
agisce sui punti di derivabilita'].
Quello che studiamo in questo caso e' pero' l'effetto delle
trasformazioni unitarie viste come trasformazioni attive del
dominio. Abbiamo visto che la condizione di simmetria
delimita fortemente il dominio di definizione
originale.
Da questa base si puo' pensare eventualmente ad ulteriori
estensioni della nozione di impulso. Esistono due circostanze
che possiamo immediatamente evidenziare. Gli operatori
definiti al modo detto non commutano generalmente con
le rotazioni, tuttavia esiste un gruppo molto generale, che
parametrizza queste estensioni. Di queste trasformazioni
fanno parte le rotazioni.
Infatti possiamo considerare
la classe delle trasformazioni di S^1 che conservano l'assoluta
continuita' (questo gruppo si distingue in due sottoclassi: le
trasformazioni che si riducono con continuita' all'identita' e
quelle che si riducono all'inversione). Inoltre se consideriamo
l'insieme delle funzioni Chi_Ai(x) f con f in L^2(S^1) otteniamo
m sottospazi di Hilbert la cui somma diretta e' un sottospazio di
Hilbert di L^2(S^1) naturalmente isomorfo con la somma diretta
degli spazi L^2(Ai). Le combinazioni lineari unitarie di queste
funzioni definiscono una trasformazione unitaria in questo sottospazio
di Hilbert.
Le estensioni autoaggiunte dell'operatore impulso
possono essere classificate secondo l'azione di questi
operatori essenzialmente autoaggiunti.
Puo' essere una tentazione, allora, quella di studiare gli
operatori autoaggiunti, che agiscono localmente e
derivativamente, ma ancora di piu' vedere di trovare,
se possibile, una struttura di reticolo in questa algebra
di operatori. Mi aspetto allora che sia possibile, come
di consueto, trovare la struttura agli insiemi di definizione
di questi operatori dalla scelta degli ideali massimali
dell'algebra. Dalla scelta di concentrarsi solo sulle proprieta'
locali si guadagna la possibilita' di studiare estensioni
astratte.
Un problema concreto che mi piacerebbe indirizzare,
come esempio applicativo di cio', e' quello
dello studio delle singolarita' nella evoluzione temporale
delle soluzioni di un'equazione di Schroedinger di
una particella su supporto S^1, quello
a cui penso in concreto e' una guida d'onda ideale
circolare senza dissipazioni. Possiamo immaginare
situazioni in cui e' importante introdurre singolarita'
puntuali dell'energia cinetica?
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Inviato via
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Received on Fri Feb 24 2006 - 18:10:32 CET