Il 16 Feb 2006, 17:01, gianmarco100_at_inwind.it (Tetis) ha scritto:
> Il 16 Feb 2006, 10:37, "Valter Moretti" <vmoretti2_at_hotmail.com> ha
scritto:
Siccome rimango con un certo numero di perplessita' ho pensato di
concentrarmi specificatamente su questo punto:
> In genere tuttavia si assume che se f e' una funzione
> assolutamente continua e \gamma ne e' la primitiva,
> la mappa: psi(q) -> exp( i \gamma(q)) psi(q) sia una
> trasformazione unitaria che applica p in p + f(q).
> Dove p + f(q) obbedisce ancora alle regole di commutazione
> canonica. Quello di prima quindi apparirebbe come un caso
> particolare di questo.
>
> > Se la risposta � si a una delle due possibilit�, allora l'operatore
> > � essenzialmente autoaggiunto (ammettendo che sia hermitiano come
> > confermi in fondo)
In pratica sul fatto che quella indicata sopra sia una trasformazione
unitaria dello spazio di Hilbert in se non mi sembra ci siano discussioni
di rilievo da fare: la trasformazione conserva la norma ed i prodotti
scalari
fra coppie di funzioni. Sulla circostanza che la derivata trasformi
al modo che ho scritto, ovvero che per funzioni derivabili si abbia
che effettivamente p con dominio le funzioni derivabili con derivata
in L^2 va in p+f(q) quando applico questa trasformazione unitaria,
ci puo' essere qualche difficolta': il punto da discutere e' che
effettivamente
applicando p+f(q) su una funzione derivabile con derivata L^2 si ottiene una
funzione di L^2: questo generalmente non si verifica se f e' in L^1,
controesempio e' la funzione 1/sqrt(x) il cui quadrato non e' integrale.
Quindi diciamo che abbiamo trovato un esempio di un fatto istruttivo
che e' anche abbastanza semplice da immaginare a priori: in generale
non e' vero che le trasformazioni unitarie conservano un operatore
simmetrico. Infatti puo' verificarsi che pure se il dominio di un operatore
hermitiano e' denso in L^2, tuttavia l'azione della trasformazione unitaria
considerata non sia interna ad L^2.
Rimane da comprendere cosa succede se considero
l'operatore definito in termini di derivata debole: devo imporre l'ulteriore
delimitazione che l'azione moltiplicativa di f su L^2 sia suriettiva in L^2?
In pratica mi sto chiedendo: e' falso che un operatore essenzialmente
autoaggiunto e' trasformato dall'azione di un operatore unitaria in un
operatore essenzialmente autoaggiunto? Ovvero: e' falso che generalmente
D(U^{+}AU) = D(U^{+}A^{+}U)? Nota bene che: se considero
una precisa estensione autoaggiunta, l'unica nel caso di un operatore
essenzialmente autoaggiunto, cA, non si discute che per quella vale:
U^{+}(c(A))^{+}U = U^{+} c(A) U = U^{+}(c(A^{+})U. La domanda e'
se "e' falso che la chiusura commuta con la trasformazione unitaria,
nel senso che: c(U^{+}AU) = U^{+} c(A) U?" Brattelli Robinson?
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Received on Tue Feb 21 2006 - 12:32:07 CET