Il 07 Feb 2006, 19:25, "TV" <petit_at_iol.it> ha scritto:
> Come avevo preannunciato, sono andato a rivedere l'esame di metodi.
> Non ricordavo, ma avevo studiato, come applicazione, l'operatore impulso
P.
> Riporto velocemente tale studio.
>
> Si considera l'operatore Pf(x)= i f '(x) (con f '(x) la derivata di f(x))
> definito sullo spazio L2(a,b) tale che f(x) e f '(x) apparttengono a tale
> spazio.
>
> La prima cosa che si fa � vedere se tale operatore � simetrico. Tale
studio
> comporta una prima condizione che indico con A: le funzioni devono essere
> asolutamente continue. Tale condizione, per�, non � sufficiente a produrre
> la simmetria. E' necessaria un'altra condizione che non risulter� univoca.
>
> Fatto questo si trova l'aggiunto. Si verifica che tale aggiunto �
> derivativo, ma l'operatore P non � autoaggiunto.
>
> Studiando gli indici di difetto si trova: n=1 e m=1. Dato che non sono
> uguali a zero, viene confermato che l'operatore P non � autoaggiunto. Per�
> essendo uguali e diversi da zero, significa che esiste una estensione
> simmetrica autoaggiunta. Indicato con Ps tale estyensione, si verica che:
>
> P contenuto Ps contenuto Ps^+ contenuto P^+
>
> e cio�:
>
> 1) tutte le estensioni simmetriche sono contenute in P^+
> 2) tutte le estensioni simmetriche agiscono derivativamente
> 3) la condizione A deve essere contemplata in tutti i domini delle
> estensioni simmetriche.
>
> Presa una generica estensione Ps si trova che la propriet� che devono
> soddisfare le funzioni �:
>
> f(b)=f(a) exp[i teta]
>
> Per ogni "teta" si ottiene una estensione simmetrica e si verifica che �
> autoaggiunta.
Torno a dire che queste non sono tutte le estensioni autoaggiunte
possibili. Puoi definire l'insieme fuzzy in moltissimi modi. Il mio
prof. spiegandoci la trasformata di Fourier per funzioni definite a
tratti ne aveva accennato. Ad esempio: puoi scomporre il tuo spazio
di Hilbert nella somma diretta di due spazi di Hilbert L^2(a,a') +
L^2(a',b).
Oppure tre, etc. e se su ognuno consideri le estensioni autoaggiunte
parametrizzate con theta_1, theta_2, ... trovi ancora un operatore
autoaggiunto quando consideri P = p1 + p2. Etc...
D'altra parte se consideri per dominio lo spazio di Hilbert delle
funzioni derivabili su supporto "circonferenza",
le estensioni autoaggiunte che hai scritto non sono piu' valide: nel
senso che la derivata non e' ben definita in zero. In quel caso la
sola estensione autoaggiunta che puoi definire imponendo la
validita' della rappresentazione moltiplicativa punto punto
e' quella che corrisponde ad assumere la rappresentazione di
Dirac dell'impulso ovvero p f = - i f'. Attenzione che la condizione
di assoluta continuita' su f non implica che la f sia derivabile,
implica che vale il teorema fondamentale del calcolo integrale
e quindi puoi applicare la regola di integrazione per parti. Ovvero
e' l'integrale di f che e' derivabile ed ha f come derivata. Questo
teorema, che permette di interpretare l'integrazione come operazione
inversa della derivazione, non e' infatti garantito per le funzioni di L^2.
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Received on Mon Feb 13 2006 - 18:00:27 CET