Re: Aiuto esercizio: particella su circonferenza
Come avevo preannunciato, sono andato a rivedere l'esame di metodi.
Non ricordavo, ma avevo studiato, come applicazione, l'operatore impulso P.
Riporto velocemente tale studio.
Si considera l'operatore Pf(x)= i f '(x) (con f '(x) la derivata di f(x))
definito sullo spazio L2(a,b) tale che f(x) e f '(x) apparttengono a tale
spazio.
La prima cosa che si fa � vedere se tale operatore � simetrico. Tale studio
comporta una prima condizione che indico con A: le funzioni devono essere
asolutamente continue. Tale condizione, per�, non � sufficiente a produrre
la simmetria. E' necessaria un'altra condizione che non risulter� univoca.
Fatto questo si trova l'aggiunto. Si verifica che tale aggiunto �
derivativo, ma l'operatore P non � autoaggiunto.
Studiando gli indici di difetto si trova: n=1 e m=1. Dato che non sono
uguali a zero, viene confermato che l'operatore P non � autoaggiunto. Per�
essendo uguali e diversi da zero, significa che esiste una estensione
simmetrica autoaggiunta. Indicato con Ps tale estyensione, si verica che:
P contenuto Ps contenuto Ps^+ contenuto P^+
e cio�:
1) tutte le estensioni simmetriche sono contenute in P^+
2) tutte le estensioni simmetriche agiscono derivativamente
3) la condizione A deve essere contemplata in tutti i domini delle
estensioni simmetriche.
Presa una generica estensione Ps si trova che la propriet� che devono
soddisfare le funzioni �:
f(b)=f(a) exp[i teta]
Per ogni "teta" si ottiene una estensione simmetrica e si verifica che �
autoaggiunta.
Tenendo conto di questo studio, l'esercizio lo risolvo in questo modo ( mi
aggancio al messaggio precedente). Arrivato all'espressione
(psi*(x) fi(x) ) [0,2Pi]=0.
poich� � valida per ogni psi(x) e fi(x) sar� vera anche se prendo
psi(x)=fi(x). Quindi avr�
(fi*(x) fi(x) ) [0,2Pi]=0
|fi(x)| [0,2Pi]=0
|fi(2pi)|=|fi(0)|
fi(2pi)=fi(0) exp[i teta]
In pratica nel mio raginamento ho considerato che P fosse gi� un'estensione
simmetrica. Poi ho trovato la condizione per far si che sia anche
autoaggiunto (che poi coincide con la condizione affinch� l'estensione sia
simetrica)
A questo punto risolvo l'equazione agli autovalori:(h= h tagliato)
(d^2/dx^2) fi(x) + k^2 fi(x) = 0
con k^2 = 2mr^2 E/h
La soluzione �
fi(x) = A exp[i k x] + B exp[-i k x]
A questo punto pongo B=0 perch� non essendoci variazione di potenziale lungo
il percorso della particella, non mi aspetto nessuna onda riflessa.
Quindi:
fi(x) = A exp[i k x]
A questa espressione impongo la condizione fi(2pi)=fi(0) exp[i teta]. Da
tale condizione si ottiene:
En = h^2/2 m r^2 (n- teta/2pi)^2
e la funzione normalizzata �:
fi(x) [teta,n] =1/radiceq[2 pi] exp[i(n- teta/2pi) x].
Supponendo di aver fatto bene i conti, pongo due domande:
1) nello svolgimento dell'esercizio sulle dispense, appare beta che nel mio
discorso non c'�. perch�?
2) sempre dalle dispense la funzione presenta un fattore in cui compare r.
E' possibile che ci sia un errore?
Grazie
TV
Received on Tue Feb 07 2006 - 19:25:16 CET
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