Il 07 Feb 2006, 20:42, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Giorgio Pastore ha scritto:
> > Non e' solo matematica. O per lo meno non e' solo matematica fine a se
> > stessa. E' anzi rilevante per una problematica estremamente attuale ed
> > applicativamente importante legata ai calcoli di struttura elettronica
> > e alla possibilita' di ottenere informazioni sulla polarizzazione in
> > sistemi con condizioni periodiche al contorno.
> Ecco, questo m'interessa.
> Avrei proprio bisogno di vedere esempi di situazioni _fisiche_ dove
> questo tipo di problemi trovano applicazione...
> Dato pero' che quello che hai scritto mi riesce alquanto oscuro
> (understatement :) ) potresti dare qualche maggiore spiegazione?
Se guardi il problema da un punto di vista pedestre noterai
che le soluzioni piu' generali si ottengono rinunciando alla
periodicita' delle funzioni. Ovvero tanto alla continuita' quanto
alla continuita' della derivata. Questo conduce alla formulazione
di una estensione del concetto di operatore autoaggiunto. Esistono
signori che si sono dedicati allo studio delle dinamiche su fuzzy sets.
Ed anche signori che hanno studiato in termini di fuzzy-sets la struttura
delle
bande di un cristallo.
Una applicazione si ha nella descrizione dei quasi
cristalli, ma i problemi di interpretazione sono molto difficili e si legano
con problemi di topologia e con l'esistenza di singolarita' nelle
continuazioni delle soluzioni. Per fare un semplice esempio: il fatto di
rinunciare alla
periodicita' in angolo, per funzioni d'onda bidimensionali comporta
che il dominio di validita' dell'equazione di Laplace non e' semplicemente
connesso. In altre parole ci deve essere un campo che "deforma" le
funzioni d'onda. Limitandosi, come fa Lizzi, alle situazioni con una sola
singolarita' si ottengono le soluzioni di Ahronov Bohm in presenza di un
campo magnetico centrale.
In effetti, l'approccio di Lizzi si presta ad una generalizzazione, alla
quale
e' piu' semplice giungere seguendo un approccio tradizionale. Se prendi
il libro di passatore e studi il modello di Kronig Penney lo vedrai
formulato
alla maniera del Kittel ma usando il linguaggio piu' moderno della teoria
delle equazioni differenziali, quello che trovi per esempio in Arnold.
Cioe' introducendo l'operatore di monodromia. Si tratta semplicemente
dell'operatore che, assunte le ipotesi di esistenza della continuazione
analitica di una soluzione permette di scrivere i valori di (f(x),f'(x),
...., f^(n)(x))
in termini di (f(0),f'(0),..., f^(n)(0)). Ora esiste una parte della
matematica
che conoscerai certamente, se non altro per fama, ma anche perche'
te ne sarai occupato, che riguarda lo studio dei gruppi di monodromia
delle equazioni differenziali e che conduce alla formulazione della teoria
delle superfici di Riemann. E' una parte della matematica in voga dai tempi
di Poincare'. Esistono poi rappresentazioni sulla sfera di Riemann delle
superfici di Riemann, ed e' sulla sfera di Riemann che si presenta come
un tema di grande fascino lo studio delle singolarita' punteggiate o,
come dicono gli inglesi, punctured. Bene, Lizzi e' un fan di Madore'.
Che ha inventato un particolare schema di rappresentazione delle
singolarita'. La cosiddetta fuzzy sphere, tentando poi una interpretazione
geometrico fisica per questo oggetto matematico. So che il resto del
mondo matematico guarda con prudenza a questo sviluppo, perche'
non e' ben chiaro il grado di generalita' di questa struttura, che intanto
ha fatto la sua comparsa anche nel mondo della quantum-gravity.
Veicolata dal mondo della teoria delle stringhe.
Ora allo sguardo di molti matematici e fisici la teoria delle
stringhe appare come una sorta di vestito per una teoria piu'
generale, avrai senz'altro sentito parlare di M-theory, una
grande struttura teorica, in cui non si capisce se M sta per
Medium, Matrix, Magic, Mistery, Membrane,... Quello che,
al di la' del folklore si puo' dire e' che la M-theory, ammesso
che sara' portata a funzionare, trarra' molto dal linguaggio
della K-theory, di cui sarebbe un avanzamento. Questa,
che e' essenzialmente la teoria delle matrici in dimensione
infinita, contiene strutture elaborate che derivano essenzialmente
__dal modo in cui interagiscono le nozioni di campo numerico
(eventualmente continuo) e la discretezza___. Allora in K-theory
trova luogo naturalmente il concetto di varieta' (o meglio una
sua larga generalizzazione), di periodicita' di
quasi periodicita'. Da un punto di vista piu' primitivo
i problemi della K-theory rinviano alla teoria dei modelli, e portano
con se' il problema di puntualizzare e precisare un problema logico
che fu sottolineato per la prima volta da Leibniz: cosa e' il continuo,
cosa e' il discreto?
> --
> Elio Fabri
>
--------------------------------
Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Thu Feb 09 2006 - 11:56:46 CET