TV ha scritto:
> E' quello che vorrei capire anche io:-))). A parte gli scherzi, mi
> accorgo che l'espressione riportata � sbagliata. Quella giusta �:
>
> a) A=exp [i (a + ro b)]
>
> con a e b angoli (almeno credo), ro � una matrice 2x2. La prima riga
> � (0,-i), la seconda � riga (i,0).
In effetti, a e b sono numeri reali, che puoi limitare all'intervallo
[0,2pi) senza restrizioni: in questo senso puoi pensarli come angoli.
> Non ho capito come salta fuori l'espressione a).
Ma la spiegazione l'hai letta?
> Potrei riportare lo svolgimento dell'intero esercizio, ma avrei dei
> problemi con le formule. Se proprio siete curiosi vi do il link al
> file pdf:
>
> http://people.na.infn.it/%7Elizzi/libroeser.pdf
> ...
> Si tratta dell'esercizio 1.7 di pagina 12.
Stampato, letto e studiato ;-)
C'e' scritto che si vogliono cercare le funzioni psi_1, psi_2 in modo
che l'espressione
psi_1^* psi_2' - psi_1^*' psi_2
assuma lo stesso valore in 0 e in 2pi.
Qui adotta un trucco: definisce un vettore (colonna) Psi_1 di
componenti psi_1, psi_1', e lo stesso per Psi_2.
All'inizio di pag. 13 leggo:
"perche' il termine in parentesi quadra si annulli occorre che esista
una matrice A tale che ...".
E qui nasce il primo dei miei molti dubbi: che la condizione deta sia
sufficiente e' vero, ma che sia necessaria, non ne sono convinto,
anche se per ora non ti so dare un controesempio.
Comunque, anche se fosse vero, non e' certo banale...
Il resto dei miei dubbi li scrivero' per Valter :)
> Per prima cosa si definisce un operatore simmetrico:
>
> OPERATORE SIMMETRICO: Un operatore (A, DA) [DA � il dominio di A] �
> denominato simmetrico se:
>
> 1) DA � denso in H [H= spazio di Hilbert]
>
> 2) Per ogni f, g in DA
>
> (Af,g)=(f,AG).
Fin qui tutto bene.
A quanto ne so io, sono in uso indifferentmente i due termini
"simmetrico" e hermitiano" per indicare questo.
Io preferisco usare "hermitiano", ma non e' importante ora che ti
spieghi perche'.
> OPERATORE HERMITIANO O AUTOAGGIUNTO: Un operatore (A,DA) simmetrico �
> denominato Hermitiano o Autoaggiunto se
>
> A=A^+
Come ti ha gia' detto Valter, anche a me non risulta questa
identificazione tra hermitiano e autoaggiunto.
Quella che hai scritto va bene come definizione di "autoaggiunto",
ammessa la consueta definizione di aggiunto.
> OPERATORE ESSENZIALMENTE AUTOAGGIUNTO: Un operatore � denominato
> essenzialmente autoaggiunto se:
>
> 1) � simmetrico
>
> 2) esiste una sua estensione autoaggiunta.
Anche questa, come ha detto Valter, non e' la definizione usuale: si
usa "essenzialmente" quando l'estensione a.a. e' *unica*.
Valter Moretti ha scritto:
> Ciao, ho letto... al contrario di quello che pensava Elio :-)
> l'esercizio lo avevo interpretato correttamente, si tratta
> delle varie estensioni autoaggiunte che ha l'hamiltoniano
> sul cerchio, in funzione delle possibili condizioni
> di quasi periodicit� che ne assicurano almeno la simmetria.
Gia'... E ora ti faccio una domanda.
In tutta onesta', ti pare un problema che si puo' decentemente proporre
a uno studente al 3^ anno?
Questo anche trascurando i molti dubbi che ti sto per dire, ossia
assumendo che siano solo colpa mia ;-)
Dunque: ci sto pensando da qualche giorno, e piu' ci penso e peggio mi
sento :-(
I problemi mi si aggrovigliano, e ho paura che per esporli finirei per
scrivere "stile Tetis", ossia saltando di palo in frasca, mescolando
questioni diverse di cui non so vedere la relazione e la distinzione...
Per cui provo a buttar li', in ordine caotico, una serie di domande.
1. Chi l'ha detto che la hamiltoniana debba essere quella scritta,
ossia la derivata seconda cambiata di segno, senza altri termini?
2. Qual e' l'esatta definizione del momento coniugato P alla
posizione?
Va data come generatore delle rotazioni?
3. In questo caso il gruppo delle rotazioni U(1) non e' sempl.
connesso, quindi ammette rappresentazioni proiettive non banali.
E' la stessa cosa delle infinite estensioni autoaggiunte, oppure?
4. Non mi piace parlare di condizioni al contorno in 0 e in 2pi.
Questi sono punti (anzi *un* punto) dello spazio delle configurazioni;
punto che non andrebbe privilegiato.
5. Stando alla soluzione del problema, lo spettro di H non e'
definito: c'e' una costante arbitraria.
Questo non mi convince: a senso fisico io vorrei per H uno spettro ben
determinato, una volta precisato il sistema.
6. Tanto meno mi piace la nota su Aharonov-Bohm: se c'e' un campo
magnetico concatenato, quindi un pot. vettore non nullo, stiamo
parlando di un problema diverso, e H non ha piu' quella forma.
O invece resta quella, perche' classicamente sulla particella non
agiscono forze?
7. Le diverse estensioni autoaggiunte di P corrispondono a rappres.
inequiv. dell'algebra delle osservabili?
E' corretto parlare in questo caso di una "regola di superselezione"?
8. Domanda di dettaglio: ammesso che sia vero che le estensioni a.a. di
H sono parametrizzate da due parametri (alfa e beta) perche' poi nella
soluzione beta viene ignorato?
9. Che relazione c'e' tra le estensioni a.a. di P e quelle di H, se H
e' definito come P^2/(2m)?
Per finire, domanda di altro genere: l'unico libro che ho qui dove si
trova qualcosa in materia e' quello di Morandi: "The Role of Topology
in Classical and Quantum Physics" che pero' e' alquanto astruso e
inoltre lascia l'argomento in sospeso.
Lo conosci? Che ne pensi?
Dove si trova una trattazione ben fatta?
--
Elio Fabri
Received on Sun Feb 05 2006 - 21:17:33 CET