"andrea.panizza" <andrea.panizza_at_hotmail.it> wrote in message
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> R_ij = (-p+alfa)*I + beta*G_ij + gamma * G_ik*G_kj
>
> dove p � la pressione, e alfa, beta e gamma sono scalari che dipendono
> solo dagli invarianti di G_ij (volendo, da questa formula si pu�
> ottenere come caso particolare la ben nota relazione lineare fra R_ij e
> G_ij, espressa in termini di sole due costanti). Il problema � che di
> questo teorema non ho mai trovato una dimostrazione chiara e semplice:
> potete darmi una mano in tal senso?
>
> B�, questo � tutto, ciao e grazie in anticipo x l'aiuto,
>
> Andrea
Invio in forma incompleta.
Ho cominciato a rivedere l'argomento.
Voglio ri-impostare l'argomento di Valter
nei termini che mi sono piu' consueti, spero
che Valter abbia il tempo per leggere e
segnalare se qualcosa e' fuori posto.
I) Una funzione non lineare di grado finito nelle componenti di
un tensore, che risulti invariante per rotazioni si puo' scrivere
secondo la somma di rappresentazioni irriducibili del momento
angolare. Ovvero: esiste un tensore k tale che
R_ij = k_lmij W^lm
Traccia di impostazione: consideriamo il caso lineare ed
un'azione locale.
R_ij = k_lmij W^lm. Qui si intende la convenzione di somma
sugli indici ripetuti, ma non ho avanzato la richiesta a
priori che k sia un tensore. K e' fin qui solo una tabella
di numeri. La condizione di isotropia richiede che questa
funzione non dipenda in forma dal riferimento. Ovvero la
tabella dei numeri k non dipende dalla scelta di coordinate.
O per essere piu' precisi: la dipendenza dalle coordinate
non deve produrre effetti rispetto alla posizione arbitraria
in cui k non dipende dalle coordinate. Occorre ragionare
in questo modo: facciamo due esperimenti in due riferimenti
ruotati uno rispetto all'altro. Misuriamo W e misuriamo R,
in entrambi i riferimenti supponiamo ottenere le stesse
descrizioni di W, allora dobbiamo aspettarci che la descrizione
di R nei due riferimenti e' identica. In caso contrario avremmo
un'osservazione che distingue i due riferimenti.
Ora se esiste una relazione lineare alla stregua di quella
che abbiamo detto prima, valida per qualunque W ed R possiamo
scegliere i coefficienti K, per i due riferimenti, uguali indice per
indice.
D'altra parte supponiamo di fare un secondo esperimento in cui
in uno dei due riferimenti risulta che la descrizione di W e' ruotata
rispetto al W osservato nell'altro riferimento, ma i due campi di
velocita' siano di fatto coincidenti a meno di una traslazione.
Anche R deve seguire la stessa sorte, in caso contrario avremmo
un esperimento che distingue fra i due riferimenti.
Tuttavia per cambio di coordinate W ed R vengono applicati in
nuove combinazioni lineari dalle matrici di rotazione.
Esercizio preliminare:
nell'ipotesi semplificata che W sia un tensore arbitrario,
sfruttando le relazioni di ortogonalita' per una generale
rotazione ed il fatto che la matrice inversa di una trasformazione
ortogonale coincide con la sua trasposta, dimostrare che la
richiesta di isotropia equivale a dire che k_lmij e' un tensore
invariante.
nell'ipotesi che invece W sia un arbitrario tensore simmetrico
e' possibile mostrare
che, senza perdita di generalita', si puo' scegliere per K un
tensore k_ijlm invariante e simmetrico rispetto allo scambio
degli indici lm. Allo scopo basta osservare che la seguente
idendita':
R_hz = (O_ih O_jz O_lr O_ms K^ijlm)W_rs = K^hzrs W_rs
implica l'identita':
R_hz = (O_ih O_jz O_lr O_ms K^ijml)W_rs = K^hzsr W_rs
e quindi anche l'identita' fra le semisomme. (nota
che non ho usato la condizione che R sia simmetrico).
Da questo discende che senza perdere generalita' possiamo
imporre la condizione che la tabella K sia simmetrica
rispetto allo scambio di lm.
Se W_rs e' un arbitrario tensore simmetrico allora
ne discende la condizione che:
O_ih O_jz O_lr O_ms K^ijml -K^hzsr = H^hzsr
dove H e' una tabella di numeri antisimmetrica per lo
scambio di s con r. Ma se abbiamo imposto la simmetria
rispetto allo scambio dell'ultima coppia di indici in
K ne discende la condizione che K e' un tensore simmetrico
rispetto allo scambio di m ed l ed e' un tensore invariante.
*********** NOTA FACOLTATIVA ******************************
Analogamente a quanto avviene nel caso della trasformata
di Fourier questa equazione ha anche la sua forma
in termini delle componenti irriducibili del gruppo
delle rotazioni. Come nel caso della trasformata di
Fourier si individuano i numeri "quantici" d'onda,
nel caso presente i numeri quantici sono quelli
del momento angolare. Le relazioni di ortogonalita'
in questo caso sono, tuttavia, piu' dispettose.
Mentre nel caso delle traslazioni basta che la
somma dei numeri quantici si corrisponda e questo
conduce al prodotto di convoluzione, perche' le
traslazioni sono un gruppo abeliano, nel caso
delle rotazioni cartesiane il prodotto di grandezze
irriducibili e' piu' elaborato e procede secondo
i pesi di Clebsch Gordon. Ovvero:
R_(q,qz) = C_(q,qz,q1,q1z,q2,q2z) K_(q1,q1z) W_(q2,q2z)
qui sono J1^2 J1z e J2^2,J2z che commutano fra loro, ma
J e Jz non commutano con J1z,J2z,J1,J2. Questo porta
alla circostanza che il coefficiente C ha la forma:
C(q,qz,q1,q1z,q2-q1,q2z-q1z).
*************************************************************
Io non so cosa si verifica se W non puo' assumere
qualsiasi valore. Ovvero in tal caso quello che
possiamo concludere e' che la tabella dei numeri
K e' un tensore a meno di una tabella additiva
ortogonale a W.
Per quanto riguarda i gradi piu' alti e' lecito,
se W e' un tensore qualsiasi, procedere per termini
omogenei. Il modo di dimostrare questo e' semplice,
e puo' essere lasciato per esercizio (tradotto: non ho
voglia di stare a scrivere per esteso) si tratta di
considerare le trasformazioni W -> aW. E considerare
poi le derivate successive rispetto ad a in 1. Si deduce
cosi' che condizione equivalente all'isotropia e' che:
O^{j1,i1}...O^{jm,im} K_{i1,i2,...,im} W^{j3,j4}...W^{j_m-1,jm} =
K_j1,j2,...,jm W^{j3,j4}...W^{j_m-1,j_m}.
Questa equazione deve esser verificata per ogni O e per ogni
W simmetrica. In primo luogo possiamo sempre simmetrizzare
questo K rispetto ad indici contigui di cui il primo in
posto dispari maggiore di 1. Quindi possiamo procedere
a considerare una W^il = (d_im d_lk + d_ik d_lm)/2.
Se ora consideri una rotazione infinitesima del solo piano
{m,k}
II) Ogni tensore cartesiano che trasformi secondo la rappresentazione
irriducibile del momento angolare di grado superiore al secondo risulta
simmetrica per lo scambio di due indici. Ed a traccia nulla rispetto
alla contrazione di qualsivoglia coppia di indici.
Applicando ora questo teorema, di cui rinvio al momento la
dimostrazione, ne consegue che k_lmij e'
III) La contrazione completa di un tensore di rango due con una propria
copia e' uguale alla somma delle contrazioni complete delle componenti
irriducibili.
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Received on Fri Feb 03 2006 - 21:50:11 CET