Meccanica del continuo, tensori, isotropia...help!!

From: <andrea.panizza_at_hotmail.it>
Date: 28 Dec 2005 01:47:09 -0800

Ciao, vorrei chiedere il vostro aiuto per chiarirmi alcuni concetti che
sto studiando x lavoro. Il mio problema � analogo a quello, pi� noto,
di dare un modello per la dipendenza del tensore degli sforzi R_ij(x,t)
(x = coordinate euleriane) dal campo di velocit� di un fluido, cio�
dare la cosiddetta relazione costitutiva del fluido. Perci� d'ora in
poi mi riferir� a quest'ultimo.

Nell'ideare un simile modello si � soliti richiedere che la relazione
fra R_ij(x,t) ed il campo di velocit� V soddisfi alcune propriet�,
tra cui l'azione locale (R_ij(x,t) dipende solo dal campo di velocit�
in un intorno di x) e il determinismo (R_ij(x,t) pu� dipendere solo
dai valori di velocit� per tempi T =< t). In particolare assumo la
forma pi� semplice di determinismo che � la mancanza di memoria (R_ij
pu� dipendere solo dal campo di velocit� al tempo t). Inoltre,
essendo gli sforzi delle forze vere, non apparenti, R_ij gode della
propriet� di indifferenza materiale <=> il tensore � lo stesso in due
riferimenti animati di moto relativo rigido qualunque. Da qui deduciamo
che:

1) R_ij non pu� dipendere dalla velocit� in x, per via
dell'invarianza galileiana, ma dipender� solo dal gradiente di
velocit� in x, G_ij = _at_V_i/_at_x_j. **Prima difficolt�**: perch� solo
dal gradiente di velocit� e non anche dalle derivate successive?
Immagino derivi dalla propriet� di azione locale (tronco lo sviluppo
in serie di Taylor al primo ordine in deltax).

2) R_ij dipende solo dalla parte simmetrica del gradiente di velocit�,
cio� dal tensore velocit� di deformazione D_ij = 1/2 * (_at_V_i/_at_x_j +
_at_V_j/_at_x_i). Questo perch� la parte antisimmetrica � legata alla
rotazione locale della particella di fluido, per cui non � invariante
nel cambio fra due riferimenti l'uno rotante rispetto all'altro, contro
la propriet� d'indifferenza materiale di R_ij. Inoltre di solito
assumiamo la nullit� di coppie di sforzo e momenti di volume, perci�
R_ij � simmetrico, e ci "aspettiamo" che dipenda solo dalla parte
simmetrica di G_ij.

Arrivato qui, mi impappino 1 p�. Difatti per i fluidi si fa quasi
sempre l'ipotesi che il legame fra R_ij e D_ij sia isotropo, cio�
invariante per rotazioni. E qui c'� il **secondo inghippo**: che
vuol dire fisicamente "invariante per rotazioni"? Intuitivamente io
penserei che una volta scritto il legame fra R_ij e D_ij in forma
tensoriale, questo sar� valido in qualsiasi sistema di riferimento,
per cui qualsiasi legame cos� scritto sarebbe invariante x rotazioni.
Ovviamente non pu� essere cos�, non tutti i modelli tensoriali sono
isotropi! Penso che ci� che si debba intendere � che la funzione
f(G_ij) =R_ij resti *esattamente la stessa* a seguito di una rotazione.
Voglio dire che supponendo ad esempio che f sia lineare, essa sar�
esprimibile come R_ij = N_ijkm * G_ij, dove N_ijkm dev'essere un
tensore isotropo, cio� che *ha le stesse componenti* nei due
riferimenti ruotati. Questo � pi� forte che dire semplicemente che le
componenti di N_ijkm si trasformano secondo la regola dei tensori.

Ci ho azzeccato fin qui? Ho saltato qualcosa? Passiamo allora al mio
**terzo ed ultimo problema**: si tratta del teorema di
rappresentazione, cio� quel teorema che dice che l'unica relazione
isotropa fra R_ij e D_ij �

R_ij = (-p+alfa)*I + beta*G_ij + gamma * G_ik*G_kj

dove p � la pressione, e alfa, beta e gamma sono scalari che dipendono
solo dagli invarianti di G_ij (volendo, da questa formula si pu�
ottenere come caso particolare la ben nota relazione lineare fra R_ij e
G_ij, espressa in termini di sole due costanti). Il problema � che di
questo teorema non ho mai trovato una dimostrazione chiara e semplice:
potete darmi una mano in tal senso?
 
B�, questo � tutto, ciao e grazie in anticipo x l'aiuto,

Andrea
Received on Wed Dec 28 2005 - 10:47:09 CET