Il 28 Dic 2005, 10:47, andrea.panizza_at_hotmail.it ha scritto:
> Ciao, vorrei chiedere il vostro aiuto per chiarirmi alcuni concetti che
> sto studiando x lavoro. Il mio problema � analogo a quello, pi� noto,
> di dare un modello per la dipendenza del tensore degli sforzi R_ij(x,t)
> (x = coordinate euleriane) dal campo di velocit� di un fluido, cio�
> dare la cosiddetta relazione costitutiva del fluido. Perci� d'ora in
> poi mi riferir� a quest'ultimo.
>
> Nell'ideare un simile modello si � soliti richiedere che la relazione
> fra R_ij(x,t) ed il campo di velocit� V soddisfi alcune propriet�,
> tra cui l'azione locale (R_ij(x,t) dipende solo dal campo di velocit�
> in un intorno di x) e il determinismo (R_ij(x,t) pu� dipendere solo
> dai valori di velocit� per tempi T =< t). In particolare assumo la
> forma pi� semplice di determinismo che � la mancanza di memoria (R_ij
> pu� dipendere solo dal campo di velocit� al tempo t). Inoltre,
> essendo gli sforzi delle forze vere, non apparenti, R_ij gode della
> propriet� di indifferenza materiale <=> il tensore � lo stesso in due
> riferimenti animati di moto relativo rigido qualunque. Da qui deduciamo
> che:
>
> 1) R_ij non pu� dipendere dalla velocit� in x, per via
> dell'invarianza galileiana, ma dipender� solo dal gradiente di
> velocit� in x, G_ij = _at_V_i/_at_x_j. **Prima difficolt�**: perch� solo
> dal gradiente di velocit� e non anche dalle derivate successive?
Probabilmente ho bisogno di aiuto e quello che dir� �
ad alto rischio.
E' un'evidenza sperimentale. In fisica statistica questo
ha una giustificazione che mette in relazione questo
aspetto con la separazione di scala temporale fra i
moti molecolari ed i moti delle "particelle fluide"
e come giustamente osservi o intuisci, c'entra
la validit� dell'ipotesi di azione locale.
> Immagino derivi dalla propriet� di azione locale (tronco lo sviluppo
> in serie di Taylor al primo ordine in deltax).
>
> 2) R_ij dipende solo dalla parte simmetrica del gradiente di velocit�,
> cio� dal tensore velocit� di deformazione D_ij = 1/2 * (_at_V_i/_at_x_j +
> _at_V_j/_at_x_i). Questo perch� la parte antisimmetrica � legata alla
> rotazione locale della particella di fluido, per cui non � invariante
> nel cambio fra due riferimenti l'uno rotante rispetto all'altro, contro
> la propriet� d'indifferenza materiale di R_ij. Inoltre di solito
> assumiamo la nullit� di coppie di sforzo e momenti di volume, perci�
> R_ij � simmetrico, e ci "aspettiamo" che dipenda solo dalla parte
> simmetrica di G_ij.
Potresti spiegare meglio questo ragionamento?
In particolare la derivazione dell'ipotesi di indifferenza
materiale dal fatto che gli sforzi sono forze vere.
Mi suona tanto di "landauismo" il che depone a
favore di una correttezza dell'argomento, per� non
l'ho capito. In generale in effetti, specie per fluidi
compressibili, c'� un termine nella forza viscosa
che dipende dal laplaciano della velocit�.
In base alla spiegazione che dai sembra
che questo non debba verificarsi.
Io direi piuttosto
che la parte antisimmetrica ha la qualit�
di non essere rilevante ai fini della divergenza
del tensore isotropo, nel senso che spiegher�
in seguito, e quindi nella teoria lineare non occorre
nemmeno evocare la parte antisimmetrica del tensore
gradiente delle velocit�. Tuttavia se l'ambizione �
di sviluppare una teoria non lineare allora occorre
considerare certamente le relazioni di simmetria.
> Arrivato qui, mi impappino 1 p�. Difatti per i fluidi si fa quasi
> sempre l'ipotesi che il legame fra R_ij e D_ij sia isotropo, cio�
> invariante per rotazioni. E qui c'� il **secondo inghippo**: che
> vuol dire fisicamente "invariante per rotazioni"? Intuitivamente io
> penserei che una volta scritto il legame fra R_ij e D_ij in forma
> tensoriale, questo sar� valido in qualsiasi sistema di riferimento,
> per cui qualsiasi legame cos� scritto sarebbe invariante x rotazioni.
> Ovviamente non pu� essere cos�, non tutti i modelli tensoriali sono
> isotropi! Penso che ci� che si debba intendere � che la funzione
> f(G_ij) =R_ij resti *esattamente la stessa* a seguito di una rotazione.
Qui non ho capito cosa intendi. Secondo me un conto �
la validit� di una legge a prescindere dal riferimento un
altro � l'isotropia del tensore degli sforzi per un liquido.
L'isotropia � una richiesta pi� forte che non la covarianza
delle equazioni.
> Voglio dire che supponendo ad esempio che f sia lineare, essa sar�
> esprimibile come R_ij = N_ijkm * G_ij, dove N_ijkm dev'essere un
> tensore isotropo, cio� che *ha le stesse componenti* nei due
> riferimenti ruotati. Questo � pi� forte che dire semplicemente che le
> componenti di N_ijkm si trasformano secondo la regola dei tensori.
Infatti. Questa � la richiesta di isotropia e linearit� degli
sforzi rispetto al campo di velocit�.
Una particella liquida sente
lo scorrimento degli strati vicini ma ripartisce gli sforzi in
modo isotropo e se metti in moto di traslazione una parte
rispetto ad un altra la forza di richiamo � allineata con
la velocit� relativa. In altre parole i coefficienti del tensore
visco-pressorio non dipendono dall'orientazione delle
coordinate euclidee locali istantaneamente solidali con
il fluido, ipotesi forte piuttosto che no. Se ammettiamo questa
ipotesi, ne segue che i tensori visco-pressori possono essere solo
tensori invarianti per rotazione. In altri termini le propriet�
locali di un solido possono essere usate per orientare in
maniera intrinseca lo spazio, le propriet� locali di un liquido
(eccetto che non sia un liquido nematico) no. Solamente
le propriet� del flusso possono essere usate per una
orientazione __relativa__ delle parti. Quindi il tensore degli sforzi
non dipender� dalla velocit� assoluta della particella liquida,
e la forza viscosa non dipender� dal gradiente di velocit� in
quanto questo � nullo nel riferimento solidale con la particella
liquida. Questo � semplice. Ma queste nel complesso sono
condizioni necessarie sul tensore degli sforzi non sono ancora
sufficienti all'isotropia. Di pi�, a me, al momento, non
riesce di dedurre. In particolare occorre ipotizzare ed imporre
in qualche modo il principio di azione e reazione. Cio� esprimere
in formule che se una parte ruota rispetto all'altra l'azione
reciproca fra le parti deve essere simmetrica. Pu� darsi che
l'effetto risultante sia come dici che � coinvolto solo la parte
simmetrica del tensore gradiente.
> Ci ho azzeccato fin qui? Ho saltato qualcosa? Passiamo allora al mio
> **terzo ed ultimo problema**: si tratta del teorema di
> rappresentazione, cio� quel teorema che dice che l'unica relazione
> isotropa fra R_ij e D_ij �
>
> R_ij = (-p+alfa)*I + beta*G_ij + gamma * G_ik*G_kj
>
> dove p � la pressione, e alfa, beta e gamma sono scalari che dipendono
> solo dagli invarianti di G_ij (volendo, da questa formula si pu�
> ottenere come caso particolare la ben nota relazione lineare fra R_ij e
> G_ij, espressa in termini di sole due costanti). Il problema � che di
> questo teorema non ho mai trovato una dimostrazione chiara e semplice:
> potete darmi una mano in tal senso?
Qui hai cambiato notazione rispetto a prima: DG.
Onestamente per� non mi � chiarissimo quello
che hai scritto. Io direi che nella teoria lineare
alfa � la divergenza del campo di velocit� e che
a questa si somma un termine proporzionale al
tensore degli sforzi. Tuttavia questo comporta una
ben precisa scelta di connessione affine, cio�
stiamo certamente ragionando in spazio euclideo
ed assumento la linearit� della viscosit� rispetto
al campo di velocit�. Le equazioni conseguenti,
tuttavia, non sono lineari per via del termine di
trasporto della derivata covariante. Ma in pi� pu� essere
che il tensore degli sforzi non sia lineare nella
velocit� pur coinvolgendo solo il tensore gradiente.
Per il resto direi che forse va bene
la tua intuizione: perch� la relazione funzionale
locale sia formalmente indifferente al sistema
di coordinate, ovvero perch� la forma delle equazioni
sia invariante per rotazioni, ma in pi� isotropa, devono comparire
solamente combinazioni invarianti: queste si ottengono
per contrazione con operatori intrinseci al flusso, quindi
derivando e contraendo il flusso di velocit� se scegliamo
di escludere le derivate di ordine superiore al primo
il pi� generale tensore di secondo ordine costruibile
dalle velocit� e dalle loro derivate ha, forse, la forma
che tu hai scritto. In generale io la spiegherei in questi
termini: se ammettiamo che la relazione costitutiva non
pu� dipendere dalla scelta delle coordinate euclidee e
non pu� dipendere dalla scelta della loro orientazione allora
sono escluse le combinazioni pseudotensoriali.
Il modo in cui procederei parte dall'assumere che la forza
viscosa � un vettore, ovvero per cambiamento di coordinate
spazio temporali trasforma come un vettore galileiano, inoltre
per scrivere le equazioni in termini di un'equazione di
continuit� devo trovare un tensore tale che la forza viscosa
sia data dalla divergenza di questo tensore. Questo �
il tensore degli sforzi. Allora la forza viscosa deve essere
data da una espressione del secondo ordine nelle derivate
che non dipende dall'orientazione locale delle coordinate.
Quindi devo costruire un tensore di secondo ordine
usando solo i tensori invarianti 3-d, ed i simboli di derivazione
fino al primo ordine applicati alle velocit�. I tensori invarianti
3-d sono d_ij (delta kronecker) ed eps_ijk
(pseudo-tensore antisimmetrico). Quindi, se indico con
v_j,k, la derivata di v_j rispetto a k trovo che il tensore pi�
generale �:
A v^i,j + B v^j,i + C (v_l,l) d^ij + D v_l,i v_l,j + E v_l,i v_j,l + F v_l,j
v_i,l+ G (v_l,m v_l,m)d^ij +
H (v_l,m v_m,l)d^ij.
Infatti il solo riferimento � dato dal flusso stesso che �
identificato dal campo di velocit� ed abbiamo rispettato
la scelta di non considerare termini di ordine superiore
al primo. Siccome per� la
forza viscosa � data dalla divergenza di questo tensore,
allora la parte iniziale pu� essere riscritta come:
B(v^i,j + v^j,i) +(A+C-B)v_l,l d^ij +...
in modo che il contributo della parte antisimmetrica
� riassorbito nel termine divergente. Ora tutto sta
a vedere se la parte che resta pu� essere espressa
solo in termini del tensore simmetrico. Direi che in
generale questo non discende dall'impostazione
seguita, occorre aggiungere ipotesi di simmetricit�,
tuttavia se questo � semplice nel caso della teoria
lineare dei solidi quando si deve costruire uno scalare
energia dal tensore di deformazione. Nel caso presente
occorre in qualche modo tenere conto delle propriet�
di isotropia che fino a questo punto non intervengono.
> B�, questo � tutto, ciao e grazie in anticipo x l'aiuto,
>
> Andrea
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Received on Wed Dec 28 2005 - 23:45:37 CET