Il 04 Gen 2006, 11:34, andrea <andrea2_at_despammed.com> ha scritto:
> Tetis ha scritto:
.....
> > Potresti spiegare meglio questo ragionamento?
> > In particolare la derivazione dell'ipotesi di indifferenza
> > materiale dal fatto che gli sforzi sono forze vere.
>
> In meccanica classica le forze vere sono invarianti nel passare fra fra
> due riferimenti aventi moto relativo rigido qualunque (attenzione: le
> forze vere, in particolare le forze interne come gli sforzi viscosi,
> sono invarianti per cambi fra riferimenti in moto rigido relativo
> qualsiasi.
E questo � vero per definizione e non l'ho messo in
discussione.
> Non le equazioni della dinamica, che sono solo covarianti
> perch� per trasformazioni non galileiane compaiono le forze apparenti).
> Esperimento:
> vaschetta piena d'acqua con tavoletta di legno che vi galleggia sopra,
> cui applico la forza necessaria affinch� si muova di moto traslatorio
> uniforme. Distribuzione di velocit� nel fluido, *nel riferimento
> solidale alla vaschetta Oxyz*: U(y) � circa uguale a [Vm*y/h, 0 ,0] dove
> Vm � la velocit� della tavola, y l'altezza sul fondo, h il livello
> dell'acqua.
>
> G_ij = _at_V_i/_at_x_j = [[0, Vm/h, 0]; [0, 0, 0]; [0, 0, 0]]
> D_ij = 1/2 * (_at_V_i/_at_x_j + @V_j/_at_x_i] =[[0, Vm/(2*h), 0]; [Vm/(2*h), 0,
> 0]; [0, 0, 0]]
> P_ij = 1/2 * (_at_V_i/_at_x_j - @V_j/_at_x_i] =
> [[0, Vm/(2*h), 0]; [-Vm/(2*h), 0, 0]; [0, 0, 0]]
>
> Cambio di riferimento da Oxyz solidale al lab ad Ox'y'z' in rotazione
> costante con velocit� angolare Omega*i_z. Ricalcola i nuovi tensori in
> questo riferimento e vedi subito che D_ij � lo stesso tensore, difatti
> anche se le sue componenti cambiano, gli invarianti sono gli stessi.
> Invece P_ij *�* cambiato: se lo sforzo viscoso dipendesse pure da lui,
> dovrebbe essere diverso se misurato in questo riferimento, il che �
> piuttosto assurdo.
Questo esempio invece non prova nulla. Anzitutto perch�
nell'esempio che hai scelto non c'� accelerazione per
nessun elemento liquido. Infatti le forze sono ovunque nulle,
coerentemente con la circostanza che la divergenza di tutti
i tensori che hai scritto � nulla. In secondo luogo perch�,
anche se avessi considerato il caso di una massa rotante
con velocit� angolare costante, che comunque risulta in
un tensore gradiente costante e quindi indivergente,
avresti avuto proprio bisogno delle forze di pressione
che richiedono l'invariante \omega^2 per essere espresse.
Ma inoltre questo � vero in generale e conduce ad una sottigliezza,
a quanto pare trascurata, della dimostrazione di Cauchy sulla
simmetricit� del tensore degli sforzi. Il tensore degli sforzi
� simmetrico a meno di un termine indivergente. Si pu� sempre
sommare un termine indivergente al tensore degli sforzi e
questo termine pu� avere la simmetria che si vuole.
Nella fattispecie un campo di velocit� rigido ha un tensore
di velocit� di deformazione ed un tensore di rotazione
entrambi costanti e quindi entrambi indivergenti. Ma questo
� solo un caso particolare di una simmetria generale:
infatti ogni volta che ad un campo di velocit� aggiungi un
campo di velocit� con componenti armoniche hai questa
situazione.
Ora sfortunatamente non ho i libri classici con la dimostrazione,
ho gi� citato il disagevole caso di Landau, e suppongo che i
classici riportino delle osservazioni aggiuntive. In particolare
questo passaggio mi lasciava sempre con la sensazione di disagio
che il tensore degli sforzi non sembri una grandezza oggettiva,
diversamente da quanto mi ero abituato a pensare studiando
scienza delle costruzioni. L'empasse si risolve osservando
che un conto � lo stato tensionale, un altro le sue manifestazioni.
Nella fattispecie se consideriamo le equazioni cardinali della
dinamica in forma integrodifferenziale notiamo che queste sono
invarianti per l'aggiunta di termini indivergenti al tensore degli
sforzi, quindi le manifestazioni dinamiche non ci danno tutte le
informazioni sullo stato tensionale. Questo deve essere studiato
con strumenti diversi.
In altre parole possiamo dire che se siamo interessati alle
equazioni della dinamica quello che conta non � la conoscenza
del tensore degli sforzi, bens� di una sua particolare gauge. Nella
fattispecie quello che discende dalla seconda equazione cardinale
della dinamica � che questa gauge pu� sempre essere fissata
in modo che il tensore degli sforzi risulti simmetrico.
Per contro ho la certezza che nelle derivazioni microscopiche si
trovano migliori discussioni su questo punto, non foss'altro perch�
� molto chiaro il concetto che un conto � quello che fanno gli atomi
e gli elettroni un'altro e quello che fanno i gruppi di tanti atomi e
che quindi diversi comportamenti microscopici possono dar luogo
alle stesse dinamiche macroscopiche.
> > In altre parole i coefficienti del tensore
> > visco-pressorio non dipendono dall'orientazione delle
> > coordinate euclidee locali istantaneamente solidali con
> > il fluido, ipotesi forte piuttosto che no. Se ammettiamo questa
> > ipotesi, ne segue che i tensori visco-pressori possono essere solo
> > tensori invarianti per rotazione.
>
> Che intendi con tensore visco-pressorio, stai parlando del tensore degli
> sforzi viscosi?
No sto parlando del tensore dei coefficienti. Quello che
compare una
relazione costitutiva lineare covariante fra il tensore
degli spostamenti (deformazioni in elasticit�, gradiente
di velocit� in fluido-dinamica dei liquidi isotropi) ed
il tensore degli sforzi. Quello che si chiama tensore
di Hooke. Nel tensore di Hooke sono contenute
tanto la pressione quanto la viscosit�, per questo l'ho
definito liberamente visco-pressorio, ma mi accorgo
dalla tua replica che la dizione � fuorviante, perch� fa
pensare al tensore degli sforzi, atteniamoci alle convenzioni:
sto parlando del tensore di Hooke. Sono stato anche affrettato
nel dire che questo tensore deve essere invariante per
rotazioni. Avrei dovuto dire, come tu dicevi: le relazioni costitutive
non risentono delle orientazioni relative.
> Allora non � invariante per rotazione. La funzione
> che lega il tensore degli sforzi viscosi al tensore velocit� di
> deformazione, quella s� deve essere invariante per rotazione, ma non il
> tensore degli sforzi viscosi R_ij. In un fluido newtoniano
> incomprimibile R_ij � addirittura deviatorico, quindi non pu� essere
> isotropo a meno che non sia nullo.
>
> [..]
>
> > e la forza viscosa non dipender� dal gradiente di velocit� in
> > quanto questo � nullo nel riferimento solidale con la particella
> > liquida.
>
> No, la forza viscosa deve dipendere proprio dal gradiente di velocit�,
> l'abbiamo detto all'inizio parlando dell'azione locale.
Hai ragione. Pensavo: "non dipender� dalla velocit�", ho scritto:
"non dipender� dal gradiente di velocit�".
> Nel riferimento
> solidale alla particella � nulla la velocit� locale ed eventualmente la
> velocit� di rotazione della particella, cio� la parte *antisimmetrica*
> del gradiente di velocit�, ma quella simmetrica no, perch� non
> corrisponde ad alcun moto rigido pertanto non puoi annullarla con un
> cambio di riferimento.
> Non so se la nostra incomprensione � dovuta al fatto che tu magari
> consideri cambi di coordinate pi� generali che non fra sistemi di
> coordinate cartesiane, ma la dinamica dei fluidi tridimensionali
> classica (non relativistica) pu� essere trattata limitandosi alla
> nozione di spazio affine su di uno spazio vettoriale euclideo reale.
No al contrario questo era quello che davo per assodato ed
implicito ed avevo avuto per un attimo il dubbio che tu ti stessi
riferendo ad una situazione differente, infatti mi ricordavo
che qualcuno col tuo nome avesse scritto in passato
interessandosi a questi argomenti per ragioni che hanno
a che fare con l'aerodinamica e la fluidodinamica applicata e
non per ragioni connesse all'astrofisica, solo ho avuto il
dubbio si trattasse di qualcun altro.
> [..]
>
> >> Ci ho azzeccato fin qui? Ho saltato qualcosa? Passiamo allora al mio
> >> **terzo ed ultimo problema**: si tratta del teorema di
> >> rappresentazione, cio� quel teorema che dice che l'unica relazione
> >> isotropa fra R_ij e D_ij �
> >>
> >> R_ij = (-p+alfa)*I + beta*G_ij + gamma * G_ik*G_kj
> >
>
> [..]
>
> > Qui hai cambiato notazione rispetto a prima: DG.
>
> S�, ti chiedo scusa. E ho anche fatto l'errore, notato da Elio, di aver
> usato mischiato la notazione matriciale, in cui il tensore identit� si
> pu� indicare con I, con la notazione tensoriale o per componenti, in cui
> giustamente devo usare il simbolo di Kronecker delta_ij. Riscrivo tutto
> per bene:
>
> " dati R_ij e D_ij tensori
> simmetrici legati da una relazione funzionale isotropa, la relazione pu�
> essere solo del tipo
>
> R_ij = alfa * delta_ij + beta * D_ij + gamma * D_ik*D_kj
>
> dove alfa, beta e gamma sono scalari funzioni degli invarianti di D_ij"
>
>
> Questo � un teorema di Meccanica del Continuo, di cui per� non ho mai
> trovato una dimostrazione chiara e semplice.
>
> [..]
>
> > Per il resto direi che forse va bene
> > la tua intuizione:
>
> [..]
>
> Non ci siamo capiti, non era una mia intuizione: il fatto che alfa, beta
> e gamma dipendano solo dagli invarianti di D_ij fa proprio parte
> dell'enunciato del teorema di rappresentazione. Per quanto riguarda il
> metodo di dimostrazione del teorema, ti va di guardare la
> mia risposta ad Elio? I miei tentativi erano simili a quello che ha
> postato lui.
Si certo che ho visto la dimostrazione di Elio ed anche la
tua risposta e mi sembra che la tua difficolt� meriti
un'approfondimento ed una risposta pi� seria.
Da quel che capisco forse ti basterebbe trovare un buon libro
in cui � spiegata bene la logica dell'isotropia e del teorema
di rappresentazione. Vedr� di fare il possibile.
> Ciao e grazie di nuovo,
>
> Andrea
>
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Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Wed Jan 04 2006 - 17:12:42 CET