Tetis ha scritto:
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Ciao, Tetis,
innanzi tutto grazie a te e ad Elio per il vostro aiuto: mi scuso per i
tempi biblici delle mie risposte, ma � sempre cos�, quando sono io a
chiedere qualcosa, che quindi non mi � chiara in partenza.
[..]
>> 2) R_ij dipende solo dalla parte simmetrica del gradiente di velocit�,
>> cio� dal tensore velocit� di deformazione D_ij = 1/2 * (_at_V_i/_at_x_j +
>> _at_V_j/_at_x_i). Questo perch� la parte antisimmetrica � legata alla
>> rotazione locale della particella di fluido, per cui non � invariante
>> nel cambio fra due riferimenti l'uno rotante rispetto all'altro, contro
>> la propriet� d'indifferenza materiale di R_ij. Inoltre di solito
>> assumiamo la nullit� di coppie di sforzo e momenti di volume, perci�
>> R_ij � simmetrico, e ci "aspettiamo" che dipenda solo dalla parte
>> simmetrica di G_ij.
>
> Potresti spiegare meglio questo ragionamento?
> In particolare la derivazione dell'ipotesi di indifferenza
> materiale dal fatto che gli sforzi sono forze vere.
In meccanica classica le forze vere sono invarianti nel passare fra fra
due riferimenti aventi moto relativo rigido qualunque (attenzione: le
forze vere, in particolare le forze interne come gli sforzi viscosi,
sono invarianti per cambi fra riferimenti in moto rigido relativo
qualsiasi. Non le equazioni della dinamica, che sono solo covarianti
perch� per trasformazioni non galileiane compaiono le forze apparenti).
Esperimento:
vaschetta piena d'acqua con tavoletta di legno che vi galleggia sopra,
cui applico la forza necessaria affinch� si muova di moto traslatorio
uniforme. Distribuzione di velocit� nel fluido, *nel riferimento
solidale alla vaschetta Oxyz*: U(y) � circa uguale a [Vm*y/h, 0 ,0] dove
Vm � la velocit� della tavola, y l'altezza sul fondo, h il livello
dell'acqua.
G_ij = _at_V_i/_at_x_j = [[0, Vm/h, 0]; [0, 0, 0]; [0, 0, 0]]
D_ij = 1/2 * (_at_V_i/_at_x_j + @V_j/_at_x_i] =[[0, Vm/(2*h), 0]; [Vm/(2*h), 0,
0]; [0, 0, 0]]
P_ij = 1/2 * (_at_V_i/_at_x_j - @V_j/_at_x_i] =
[[0, Vm/(2*h), 0]; [-Vm/(2*h), 0, 0]; [0, 0, 0]]
Cambio di riferimento da Oxyz solidale al lab ad Ox'y'z' in rotazione
costante con velocit� angolare Omega*i_z. Ricalcola i nuovi tensori in
questo riferimento e vedi subito che D_ij � lo stesso tensore, difatti
anche se le sue componenti cambiano, gli invarianti sono gli stessi.
Invece P_ij *�* cambiato: se lo sforzo viscoso dipendesse pure da lui,
dovrebbe essere diverso se misurato in questo riferimento, il che �
piuttosto assurdo.
> Mi suona tanto di "landauismo" il che depone a
> favore di una correttezza dell'argomento, per� non
> l'ho capito. In generale in effetti, specie per fluidi
> compressibili, c'� un termine nella forza viscosa
> che dipende dal laplaciano della velocit�.
> In base alla spiegazione che dai sembra
> che questo non debba verificarsi.
Lasciamo stare i fluidi comprimibili, di cui attualmente non mi occupo,
per cui non potrei seguirti al livello a cui stiamo conducendo la
discussione. Tanto il laplaciano compare anche nelle equazioni per
flussi *incomprimibili*: vedi ad esempio
http://www.numa.uni-linz.ac.at/Staff/haase/Lectures/parvor_e/node129.html
Per un fluido incomprimibile la divergenza della parte simmetrica del
tensore di velocit� � proprio pari al laplaciano di velocit�, per cui il
fatto che il laplaciano compaia nell'espressione delle Navier-Stokes
incomprimibili, non nega ma al contrario rafforza la mia tesi.
[..]
> In altre parole i coefficienti del tensore
> visco-pressorio non dipendono dall'orientazione delle
> coordinate euclidee locali istantaneamente solidali con
> il fluido, ipotesi forte piuttosto che no. Se ammettiamo questa
> ipotesi, ne segue che i tensori visco-pressori possono essere solo
> tensori invarianti per rotazione.
Che intendi con tensore visco-pressorio, stai parlando del tensore degli
sforzi viscosi? Allora non � invariante per rotazione. La funzione
che lega il tensore degli sforzi viscosi al tensore velocit� di
deformazione, quella s� deve essere invariante per rotazione, ma non il
tensore degli sforzi viscosi R_ij. In un fluido newtoniano
incomprimibile R_ij � addirittura deviatorico, quindi non pu� essere
isotropo a meno che non sia nullo.
[..]
> e la forza viscosa non dipender� dal gradiente di velocit� in
> quanto questo � nullo nel riferimento solidale con la particella
> liquida.
No, la forza viscosa deve dipendere proprio dal gradiente di velocit�,
l'abbiamo detto all'inizio parlando dell'azione locale. Nel riferimento
solidale alla particella � nulla la velocit� locale ed eventualmente la
velocit� di rotazione della particella, cio� la parte *antisimmetrica*
del gradiente di velocit�, ma quella simmetrica no, perch� non
corrisponde ad alcun moto rigido pertanto non puoi annullarla con un
cambio di riferimento.
Non so se la nostra incomprensione � dovuta al fatto che tu magari
consideri cambi di coordinate pi� generali che non fra sistemi di
coordinate cartesiane, ma la dinamica dei fluidi tridimensionali
classica (non relativistica) pu� essere trattata limitandosi alla
nozione di spazio affine su di uno spazio vettoriale euclideo reale.
[..]
>> Ci ho azzeccato fin qui? Ho saltato qualcosa? Passiamo allora al mio
>> **terzo ed ultimo problema**: si tratta del teorema di
>> rappresentazione, cio� quel teorema che dice che l'unica relazione
>> isotropa fra R_ij e D_ij �
>>
>> R_ij = (-p+alfa)*I + beta*G_ij + gamma * G_ik*G_kj
>
[..]
> Qui hai cambiato notazione rispetto a prima: DG.
S�, ti chiedo scusa. E ho anche fatto l'errore, notato da Elio, di aver
usato mischiato la notazione matriciale, in cui il tensore identit� si
pu� indicare con I, con la notazione tensoriale o per componenti, in cui
giustamente devo usare il simbolo di Kronecker delta_ij. Riscrivo tutto
per bene:
" dati R_ij e D_ij tensori
simmetrici legati da una relazione funzionale isotropa, la relazione pu�
essere solo del tipo
R_ij = alfa * delta_ij + beta * D_ij + gamma * D_ik*D_kj
dove alfa, beta e gamma sono scalari funzioni degli invarianti di D_ij"
Questo � un teorema di Meccanica del Continuo, di cui per� non ho mai
trovato una dimostrazione chiara e semplice.
[..]
> Per il resto direi che forse va bene
> la tua intuizione:
[..]
Non ci siamo capiti, non era una mia intuizione: il fatto che alfa, beta
e gamma dipendano solo dagli invarianti di D_ij fa proprio parte
dell'enunciato del teorema di rappresentazione. Per quanto riguarda il
metodo di dimostrazione del teorema, ti va di guardare la
mia risposta ad Elio? I miei tentativi erano simili a quello che ha
postato lui.
Ciao e grazie di nuovo,
Andrea
Received on Wed Jan 04 2006 - 11:34:35 CET