Re: problema MQ spin

From: Tetis <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Sat, 21 Jan 2006 10:48:47 GMT

                    Il 18 Gen 2006, 10:17, Maltese <angelodicanto_at_tiscali.it> ha scritto:
> Il Tue, 17 Jan 2006 20:39:29 +0100, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha
> scritto:
> >Sai scrivere gli autovettori di Sx come combin. lineari di |1/2,+1/2>
> >e |1/2,-1/2> (autovettori di Sz)?
> >
> >Dovresti, visto che hai scritto una cosa ben piu' complicata, come
> >
> >|psi> = sqrt(2/3) |1,1>|1/2,-1/2> - sqrt(1/3) |1,0>|1/2,+1/2>
>
> So bene che dovrei saperlo.. ma sto studiando praticamnte da
> autodidatta, ho seguito solo una parte del corso di MQ e ho delle
> lacune tra un argomento e l'altro..
>
> Comunque ricercando bene tra i miei confusi appunti ho trovato che
>
> |S,S_x=\pm1/2> = ( |S,S_z=+1/2> \pm |S,S_z=-1/2>) / sqrt(2)

Cominciamo dal caso piu' semplice. S+1/2.
Dipende da una particolare scelta della rappresentazione delle
matrici del momento angolare, piu' tecnicamente dei generatori
dell'algebra di Lie associata con il gruppo di Lie delle rotazioni,
in dimensione due. La scelta a cui si fa riferimento e' la scelta di
Pauli. Senza complicare troppo la faccenda pensa ad una combinazione
lineare a |+> + b|->. Questo puoi sempre porre che sia autostato del
momento angolare di una particella in una direzione n ortogonale a z,
a patto che la probabilita' di misurare + o - sia uguale. In tal caso
|a| = |b|. La rappresentazione di S_z discende automaticamente
dalla scelta degli autostati di S_z come vettori di base.

 La scelta di Pauli per le altre due matrici fu tale che se poniamo
n = x allora a=b=1.
Se n = -x ottieni l'autostato relativo all'autovalore h/2 per S_n = S_{-x}
da una rotazione di angolo \pi dello stato, intorno a z. Questo sara' anche
un autostato per S_x ma relativo all'autovalore -h/2. Ottieni per il
primo stato (1,1) nella base |+> |->, per il secondo (i,-i). Ne segue la
rappresentazione di Pauli della matrice S_x. Con una rotazione di
\pi/2 hai la rappresentazione di Pauli della matrice S_y. L'argomento
e' certamente piu' sottile, come vedremo fra poco, ma questo e' un buon
argomento mnemonico.

Un modo piu' diretto e' ricordare quali sono le tre matrici di Pauli
che sono scelte in modo da verificare le regole di commutazione
del momento angolare. Ma adesso rivedremo il modo piu' generale
per costruire una rappresentazione di J_x, J_y, J_z in modo abbastanza
naturale e che include il caso appena descritto, e conduce alle
anche matrici di Pauli.
  
Tieni ben presente che da questo a derivare le regole di composizione
del momento angolare corre molta strada. Per agevolarti, spero,
ti pongo una domanda: coefficienti di Clebsh Gordan ti dice nulla?
Devo essere sincero, trovo la parte che riguarda la derivazione
delle regole di composizione la sezione piu' macchinosa dell'intero
corso di meccanica quantistica, ma non ho trovato di meglio.
Ricordo che al tempo avevo meditato a lungo se esistesse un modo
per ottenere un algoritmo ricorsivo piu' semplice da ricordare che
costruisse il generico autostato |J J1 J2 Jz > in termini di soli
spin 1/2. Ma rimasi piuttosto scottato dal vedere come Landau
persegue questo obiettivo e conclusi che non era meno semplice
a meno di non esser familiari con i polinomi di Jacobi, di affidarsi
alle tavole di Clebsch Gordon, dal capitolo dedicato dal Landau
all'argomento puoi trovare anche un modo generale, basato su
questa tecnica (la rappresentazione spinoriale), per calcolare le
tavole di Clebsch Gordon facendo ricorso ai simboli di Wigner, ma
puoi rimandare questo a dopo l'esame eventualmente. Quindi il
mio consiglio per adesso e' di attenerti alla derivazione standard
che trovi sul Messiah e non sul Sakuray, ad esempio, pure se Sakuray
descrive la base teorica in modo molto pratico. Queste indicazioni
riguardano
la conoscenza della macchineria. Ma in molti casi bastano
dei semplici trucchi. Alla fine del riepilogo della teoria delle
rappresentazioni irriducibili del momento angolare saremo
in grado di affrontare anche il tuo esercizio.

Gioverebbe anche vedere le rappresentazioni esplicite di Jx, Jy, Jz
per diversi valori del momento angolare, vedremo come
ottenere questo strada facendo.

Si inizia dal calcolo degli autovalori di J^2. Ricordi che e' possibile
definire due operatori J+=J_x+iJ_y, J-=(J+)+ che hanno la proprieta' di
aumentare
e diminuire di una unita' l'autovalore di J_z (dipende dalle regole di
commutazione fra J e J+/- scrivi e capirai)? Poiche'
J^2 commuta con J+/- gli autovalori di J^2 non dipendono da m.
(Perche'?: scrivi e vedrai). Quindi applicando il momento angolare
sull'autostato che ha il massimo valore di J_z (questo per definizione
e' il J del ket |J, Jz > ), troviamo l'autovalore per J^2. Per sapere quanto
vale esprimi quindi J-J+ in termini di J^2, e Jz (e' possibile, prova
calcolando
il prodotto di J- e J+ esplicitamente ed usando le regole di commutazione
per J_x, J_y), osserva che J+ |J, J> = 0 (riscrivi infatti l'equazione
con cui hai provato che J+ e' un operatore che aumenta di una
unita' il momento angolare). Ora sfruttando l'espressione che
hai trovato per J-J+ ed osservando che J- e' l'aggiunto di J+
trovi il modulo quadro dell'autovalore di J+ sugli stati |J, Jz>
e da questi ricavi i moduli quadri degli autovalori di J-: ti
basta osservare che J- agisce su un autostato con autovalore
di J_z aumentato di un'unita'. ___ A questo punto la scelta degli
autovalori di J- e J+ e' fissata a meno di una fase arbitraria____.
Se facciamo una scelta di fase reale ritroviamo la scelta di
Pauli. Infatti: dopo che hai fatto tutto quello che ti ho suggerito
hai la tecnica di costruzione delle
rappresentazioni irriducibili di dimensione 2j+1 degli operatori
di Lie: J, (siccome poi il gruppo delle rotazioni e' un gruppo esponenziale,
questo fornisce anche la rappresentazione per il gruppo delle rotazioni.
Se non riesci a seguirmi su questa parte di teoria dei gruppi non
preoccuparti,
non e' per il momento essenziale e puoi recuperare questi ragionamenti
sul Sakuraj) Ad ogni modo siccome hai costruito una rappresentazione per le
matrici J+/- Jz e J^2(che sara' semplicemente un multiplo dell'identita')
per qualunque valore di spin, ovvero per qualunque autovalore di J^2

Con questa tecnica puoi
adesso ripensare al modo per dedurre la forma delle matrici
di Pauli. Infatti semplicemente Jx = (J+ + J-)/2 e Jy = (J+ - J-)/2i
Le matrici di Pauli generalizzate sono definite come Jx,y,z/J
questo permette di generalizzare l'espressione che scrivevi sopra.
Infatti avendo questo strumento puoi fare l'esercizio di scrivere
l'autostato di |J=1, Jx = m> in termini degli autostati |J,Jz>. Si
tratta semplicemente di risolvere l'equazione agli autovalori
corrispondente. Nella fattispecie non dovresti far fatica a trovare
(|S=1, Sz=1> - |S=1,Sz=-1>)/sqrt(2). Nella generalita' dei casi
le matrici del momento angolare sono matrici tridiagonali, dato
che gli operatori J+/- accoppiano stati di momento angolare
 lungo z contigui, e quindi hanno non nulli solo gli elementi
appena sopra o appena sotto la diagonale (secondo che
consideriameo J+ o J-). Allora quello che risulta in generale
e' che quando J e' intero l'autostato del momento angolare
Jx=0 ha diverse da zero tutte e sole le componenti di spin
j, j-2,...,-j+2,-j. Inoltre un semplice argomento di simmetria
sui coefficienti permette di concludere che spin opposti sono
equiprobabili. Il che rimane generalmente vero quando
J_x != 0 tanto che J sia intero quanto che J sia semi-intero.

Per quanto riguarda il tuo esercizio basta essere in grado
di costruire lo stato |1/2, 1/2> Allora si parte dall'espressione
incognita: |1/2,1/2> = a|1,1>|1/2,-1/2> + b|1,0>|1/2,1/2>.
 Si osserva che ruotando di angolo \pi questa espressione
da' l'espressione correlata:
|1/2,-1/2>= k(a|1,-1>|1/2,1/2> + b|1,0>|1/2,-1/2>).
Dove k e' un fattore di fase associato alla rotazione
degli stati di spin 1.
Quindi si applicano gli operatori di discesa ottenendo:
|1/2,-1/2>= sqrt(2) b|1,-1>|1/2,1/2> + [a sqrt(2) + b] |1,0>|1/2,-1/2>.
Ponendo sqrt(2) a + b = k b e sqrt(2) b = k a trovi
a= sqrt(2/3)
b= sqrt(1/3)
k = -1 .


> ma non riesco a capire perch�.. pu� darmi una mano? L'esame � tra una
> ventina di giorni e come vede ho bisogno di chiarire alcuni punti..
>
> In ogni caso grazie per il suo aiuto, se non fosse per lei i miei post
> non avrebbero nessuna risposta..
>
> Maltese


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Received on Sat Jan 21 2006 - 11:48:47 CET

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