Il 08 Gen 2006, 20:18, sakurai <sakurai_at_aliceNOCAPITOLS.it> ha scritto:
> Tetis wrote:
> >> Sakurai wrote:
> >>In effetti pero' il mio problema e' un po' diverso. La velocita' di fase
> >>della luce in un mezzo dipende dalla costante dielettrica. Se questa si
> >>annulla (e' il caso delle onde longitudinali), la velocita' diverge.
> >>Come si comporta il rot E? Ovvero in questo caso le onde sono proprio
> >>longitudinali o "un po' oblique"? :-)
> >
> >
> > Hai detto cos� poco della struttura del mezzo e del problema,
> > o so io cos� poco che mi sembra si dovrebbe essere indovini
> > per capire a cosa stai pensando. Cerca di dire qualcosa di pi�
> > aiutando la mia ignoranza.
> >
> Grazie per l'attenzione e la pazienza.
> Vero, sono stato poco chiaro.
Grazie a te per lo stimolo: piu' che altro e' che
sembrava quasi che ti aspettassi che la tua
domanda non potesse porsi se non nel contesto
in cui l'hai incontrata. Il che e' comprensibile data
la tensione associata allo studio, tuttavia risulta una
varieta' di sfaccettature e si puo' porre in una varieta'
di scale di grandezza coinvolgendo aspetti di volta in
volta differenti. Comunque ho un problema con la
divergenza della velocita' di fase.
> Le domande che ho in testa sono queste:
>
> 1) Definiti E(w) e B(w) come le componenti di Fourier rispettivamente
> del campo E e B, qual'e' - in un mezzo - la relazione fra rot E(w) e B(w)?
Tutto dipende dallo scrivere le equazioni nella forma generale.
rot (E) = -1/c dB/dt
rot (H) = 1/c dD/dt + 4\pi/c J (nello specifico J=0).
div(D) = 4 \pi rho (nella fattispecie rho =0 perche'
non risultano presenti cariche libere).
rot(H) = 0
Risultano allora le relazioni vincolari:
k x E = -1/c \omega B
k x H = 1/c \omega D
k D = 0
k B = 0
quindi si ricorre alle relazioni costitutive a patto che
siano note, assumendo risposta lineare e stazionarieta'
della risposta, nonche' invarianza per traslazioni :
D(\omega,x) = e(\omega) E(\omega,x)
B(\omega,x) = mu(\omega) H(\omega,x)
dove, a questo punto, ad x possiamo sostituire k
allo scopo di fissare una relazione fra k ed \omega,
e questo conduce, tipicamente, ad equazioni a
la D'Alembert, ovvero ad equazioni di D'Alembert
se e(\omega) e mu(\omega) sono scalari.
> 2) Detto e(w) il tensore dielettrico in /frequency domain/, detta w_l la
> pulsazione per cui e(w_l) = 0, e' vero che rot E(w_l) = 0 ?
Generalmente no. Tuttavia se e(\omega) e' uno scalare si.
Se consideriamo la componente longitudinale,
dalla prima equazione risulta, per definizione, che B
dipende solo dalla componente trasversale, infatti:
k x E = k x E |_
essendo k x E|| = 0
D'altra parte se esiste una componente longitudinale
del campo questa non puo' essere altrimenti
compatibile, nel caso isotropo, se non con 0 = (kD||)/(kE||) = eps(\omega).
Quindi, nel caso isotropo, una componente longitudinale del campo elettrico
la si puo' avere solamente se eps(\omega) = 0.
> Il mio problema e' giustificare una approssimazione che ho trovato
> sull'Ashcroft, "Solid state physics", Cap 27, Formula 27.63:
>
> In quel capitolo affronta la propagazione di onde elettromagnetiche in
> un dielettrico.
> Per costruzione non ci sono cariche libere, quindi div D = 0.
> Ci sono allora due possibilita', D = 0, o D != 0.
>
> Se D = 0 => e0 * E(w) = -P(w), dove e0 e' la costante dielettrica del
vuoto.
> E e P sono in controfase. Questa relazione e' possibile solo alla
> frequenza w_l in cui e(w_l) = 0.
Esattamente.
> Questo basta per dire che rot E = 0, e che quindi l'onda
> elettromagnetica e' polarizzata ortogonalmente alla direzione di
> propagazione?
Ancora nel caso isotropo, ovvero se il tensore dielettrico e' invariante
per rotazioni e quindi si riduce ad uno scalare, allora considerando
la seconda equazione questa si riduce a k x B = 0, dove ho ipotizzato
che \mu differisca da zero e sia un numero, il che si assume generalmente
lecito in un isolante che non abbia particolarita' magnetiche.
Combinando questa con la prima equazione, dopo aver moltiplicato
per k si ottiene che k^2 E|_ = 0. Ovvero E|_ = 0 oppure k=0.
Ed in entrambi i casi k x E = 0. Dunque per il caso isotropo abbiamo
rigorosamente che ad un campo elettrico nella direzione di moto
del campo corrisponda irrotazionalita' dell'onda. Tuttavia tutto quello
che abbiamo fatto non fissa una relazione fra k ed \omega di
conseguenza non mi sembra esatto concludere che la velocita' di fase
diverge, se non con riferimento ai modi trasversali. Cioe' semplicemente,
mi sembra, che l'argomento non sia conclusivo con riferimento alla
velocita' di fase dei modi longitudinali, forse davvero questa velocita'
diverge anche per i modi longitudinali ma, probabilmente per ignoranza,
non so come dimostrarlo.
Ad ogni modo se il tensore dielettrico fosse generalmente
capace di mescolare le componenti longitudinali e quelle trasversali,
comunque otteniamo k^2 E|_ = -(\mu \omega/c) k x D
Se \eps(\omega) non e' uno scalare, allora la condizione che E||
sia diverso da zero e' compatibile anche con una
componente trasversale non nulla di D. Basta che k non sia
nella direzione di un asse d'inerzia del tensore dielettrico.
Allora dobbiamo scrivere:
k^2 E|_ = - (\mu \omega/ c^2) k x (eps(\omega) E), con riferimento
ad una data direzione k, e ad un dato tensore eps(\omega) e ad
un dato vettore E tali che k (eps E) = 0. Quindi puo' risultare che
una componente longitudinale del campo
elettrico abbia frequenza diversa dalla frequenza principale dei modi
longitudinali. Tuttavia questi non sono modi longitudinali,
in quanto al campo elettrico risulta
associata una componente trasversale, derivante dalla
seconda equazione, del campo magnetico. In termini
pratici quando hai un campo elettrico in direzione di
propagazione anche quando la direzione e' allineata con un asse
d'inerzia del tensore dielettrico allora hai un modo longitudinale.
> Mi sono preso in prestito il Jackson... ma un suggerimento mi farebbe
> davvero comodo ;-).
Buone letture sia Jackson che Ashcroft.
> Grazie ancora,
> sakurai.
> --
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Received on Tue Jan 10 2006 - 00:41:52 CET