andrea.panizza_at_hotmail.it ha scritto:
> Ciao, vorrei chiedere il vostro aiuto per chiarirmi alcuni concetti
> che sto studiando x lavoro.
> ...
> Ci ho azzeccato fin qui? Ho saltato qualcosa?
Sono meno pignolo di Tetis :) e direi che fin qui ci siamo.
> Passiamo allora al mio **terzo ed ultimo problema**: si tratta del
> teorema di rappresentazione, cio� quel teorema che dice che l'unica
> relazione isotropa fra R_ij e D_ij �
>
> R_ij = (-p+alfa)*I + beta*G_ij + gamma * G_ik*G_kj
>
> dove p � la pressione, e alfa, beta e gamma sono scalari che dipendono
> solo dagli invarianti di G_ij (volendo, da questa formula si pu�
> ottenere come caso particolare la ben nota relazione lineare fra R_ij e
> G_ij, espressa in termini di sole due costanti). Il problema � che di
> questo teorema non ho mai trovato una dimostrazione chiara e semplice:
> potete darmi una mano in tal senso?
Vediamo se ti convince questo.
Supponiamo che occorra un terzo termine:
R_ij = (-p+alfa)*I_ij + beta*G_ij + gamma * G_ik*G_kj +
delta * G_ik*G_kl*G_lj. (*)
(come vedi, ho preferito esplicitare le componenti anche per il
tensore identita').
Dato che G e' simmetrico, esiste una rotazione di coordinate che lo
diagonalizza e sulla diagonale avrai gli autovalori w_k.
Allora la (*) si scrivera'
R_ij = (-p+alfa)*I_ij + beta*w_i*I_ij + gamma * w_i^2 I_ij +
delta * w_i^3 I_ij.
Ma gli autovalori di una matrice 3x3 soddisfano l'equazione secolare,
che e' di terzo grado; quindi w_i^3 si esprime linearmente mediante le
potenze piu' basse, con coeff. che sono funzioni degli invarianti di G.
Allora l'ultimo termine fornisce solo termini addizionali agli altri.
A questo punto inverti la rotazione, e ritrovi un'espressione del tipo
che avevi scritto, solo con alfa, beta, gamma cambiati.
Lo stesso puoi ripetere per termini di grado qualsiasi in G.
--
Elio Fabri
Received on Fri Dec 30 2005 - 20:52:19 CET