Re: Problemino (banale) di fisica. Necessita suggerimento urgente

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Fri, 20 Jan 2012 14:33:50 +0100

siccus ha pensato forte :
> Salve a tutti,
>
> scusate l'intromissione. Spero con la presente di non contravvenire
> eccessivamente
> al regolamento del gruppo, ma avrei bisogno di un parere rapido sulla
> seguente questione.
>
> Tra i quesiti di ammissione alla siss vi è il seguente:
>
> Un disco omogeneo orizzontale può ruotare intorno all'asse verticale
> passante per il centro,
> sotto l'azione di richiamo esercitata da una molla a spirale. Il suo
> periodo di oscillazione è
> T_1 = 3 sec.
> Se il disco viene sostituito con un disco omogeneo dello stesso
> materiale e spessore ma di diametro doppio, il periodo diventa
>
> A) 1.5 s B) 12 s C) 6 s D) 9 s E) 3 s
>
> Secondo il correttore la risposta corretta è la C (T_2 = 6s).

D'istinto mi associo all'analisi degli altri tre che hanno risposto
finora, si tratta facilmente di una svista dovuta all'aver trascurato
il ruolo del termine di superficie nell'integrale d'inerzia (che
aggiunge un ulteriore fattore k^2 a quello dovuto all'integrando) a
parità di densità il momento d'inerzia scala cubicamente per variazioni
di una sola delle dimensioni lineari in direzione ortogonale all'asse,
quarticamente per variazione di due direzioni e con la quinta potenza
per riscalamento spaziale.

Dal mio punto di vista però il testo non è perfettamente definito, in
quanto manca l'esplicitazione delle modalità di applicazione della
molla: se il modo più semplice in cui una molla a spirale piana può
agire sul disco è per rotazioni intorno ad asse comune, bisogna poi
stabilire se la molla è compressa all'interno del disco in modo che il
punto di trazione è sul bordo (come nelle molle delle rondelle dei
telefoni d'una volta) o è estesa ed applicata con l'estremo ad una
distanza costante dell'asse.

Inoltre per molle a spirale si intendono anche molle coniche, rispetto
ad una molla cilindrica hanno il vantaggio di essere stabili in
compressione oltre che in trazione e potrebbero essere applicate con
l'asse diretto tangenzialmente al disco in un punto della sua
periferia.


In questo secondo caso la risposta corretta sarebbe effettivamente la
C, in quanto la forza di richiamo sarebbe proporzionale ad R theta ed
il momento di questa forza sarebbe proporzionale ad R^2 theta.

Nel primo caso, cioè la molla è compressa internamente ai due dischi,
non sono sicuro di sapere come si comporta la costante elastica per le
sollecitazioni tangenziali nelle due situazioni, ma se si assume che
sia la medesima e dipende solo dallo spostamento assoluto
dell'estremità ancora la risposta corretta sarebbe la C.

Quando ho fatto l'esame per l'ammissione alle Siss capitarono diverse
domande che si prestavano a molteplici interpretazioni. Ricordo di
avere io stesso richiesto tre chiarimenti al commissario presente in
aula, i dubbi risultarono condivisi dall'aula e per due volte
l'interpretazione corretta era contraria a quella ritenuta valida dalla
maggioranza dei partecipanti, sicché i chiarimenti andarono ad
effettivo beneficio della comunità e la "retta interpretazione" fu
riferita per correttezza anche nell'altra aula d'esame.


> Probabilmente mi sfugge qualcosa, ma a mio avviso dovrebbe essere la B
> (T_2 = 12 s).
>
> Vediamo perché. Supponendo che la molla a spirale abbia un
> comportamento analogo a quello della molla di richiamo (questo assunto
> è corretto?), istante per istante, risulta
> $$
> I \theta"(t) = -k \theta(t),
> $$
> dove $I$ è il momento di inerzia del disco, $\theta$ lo scostamento
> angolare dalla posizione di riposo e $k$ un'opportuna costante che
> caratterizza la molla.
>
> Ne segue che la pulsazione di oscillazione vale $\omega = \sqrt{k/I}$.
> Il periodo sarà
> $$
> T = 2 \pi / \omega = 2 \pi \sqrt{I/k}
> $$
> Dunque per rispondere alla domanda basterà confrontare i valori di $I$
> relativi ai due dischi.
>
> Indicati con $R$ il raggio del disco, con $h$ il suo spessore e con $
> \rho$ la sua densità, se non erro, dovremmo avere
> $$
> I = \pi \rho h R^4 / 2
> $$
> Dunque, detta $I$ l'inerzia del primo disco, quella del secondo sarà
> $$
> I_2 = \pi \rho h R_2^4 / 2 = \pi \rho h (2R_1)^4 /2 = 16(\pi \rho
> hR_1^4 / 2) = 16 I_1.
> $$
> Conseguentemente,
> $$
> T_2 = 2\pi \sqrt{I_2/k} = 4( 2\pi \sqrt{I_2/k}) = 4T_1 = 12 sec.
> $$
>
> Potreste gentilmente indicarmi dove sbaglio?
>
> Grazie,
>
> Siccus

Received on Fri Jan 20 2012 - 14:33:50 CET