Problemino (banale) di fisica. Necessita suggerimento urgente

From: siccus <siccus_at_libero.it>
Date: Fri, 13 Jan 2012 12:12:19 -0800 (PST)

Salve a tutti,

scusate l'intromissione. Spero con la presente di non contravvenire
eccessivamente
al regolamento del gruppo, ma avrei bisogno di un parere rapido sulla
seguente questione.

Tra i quesiti di ammissione alla siss vi � il seguente:

Un disco omogeneo orizzontale pu� ruotare intorno all'asse verticale
passante per il centro,
sotto l'azione di richiamo esercitata da una molla a spirale. Il suo
periodo di oscillazione �
T_1 = 3 sec.
Se il disco viene sostituito con un disco omogeneo dello stesso
materiale e spessore ma di diametro doppio, il periodo diventa

A) 1.5 s B) 12 s C) 6 s D) 9 s E) 3 s

Secondo il correttore la risposta corretta � la C (T_2 = 6s).

Probabilmente mi sfugge qualcosa, ma a mio avviso dovrebbe essere la B
(T_2 = 12 s).

Vediamo perch�. Supponendo che la molla a spirale abbia un
comportamento analogo a quello della molla di richiamo (questo assunto
� corretto?), istante per istante, risulta
$$
I \theta"(t) = -k \theta(t),
$$
dove $I$ � il momento di inerzia del disco, $\theta$ lo scostamento
angolare dalla posizione di riposo e $k$ un'opportuna costante che
caratterizza la molla.

Ne segue che la pulsazione di oscillazione vale $\omega = \sqrt{k/I}$.
Il periodo sar�
$$
T = 2 \pi / \omega = 2 \pi \sqrt{I/k}
$$
Dunque per rispondere alla domanda baster� confrontare i valori di $I$
relativi ai due dischi.

Indicati con $R$ il raggio del disco, con $h$ il suo spessore e con $
\rho$ la sua densit�, se non erro, dovremmo avere
$$
I = \pi \rho h R^4 / 2
$$
Dunque, detta $I$ l'inerzia del primo disco, quella del secondo sar�
$$
I_2 = \pi \rho h R_2^4 / 2 = \pi \rho h (2R_1)^4 /2 = 16(\pi \rho
hR_1^4 / 2) = 16 I_1.
$$
Conseguentemente,
$$
T_2 = 2\pi \sqrt{I_2/k} = 4( 2\pi \sqrt{I_2/k}) = 4T_1 = 12 sec.
$$

Potreste gentilmente indicarmi dove sbaglio?

Grazie,

Siccus











Received on Fri Jan 13 2012 - 21:12:19 CET