Re: Pendolo di Foucault

From: Bruno Cocciaro <b.cocciaro_at_comeg.it>
Date: Thu, 20 Oct 2005 01:46:06 +0200

"Pangloss" <marco.kpro_at_tin.it> wrote in message
news:435409db$0$24633$4fafbaef_at_reader3.news.tin.it...
> [it.scienza.fisica 17 Oct 2005] Tetis ha scritto:
>
> > Pero' ti ho gia' chiesto e lo richiedo: di quanto variava l'ampiezza
> > delle oscillazioni nel corso della giornata?
>
> Lo smorzamento era notevole, nonostante le grandi dimensioni del
> pendolo. Fortunatamente conservo ancora i miei dati sperimentali
> piu' significativi. In una serie di misure ho rilevato:
> - t=00 a=395cm b=0 cm
> - t=50min a=190cm b=5.5cm
> Comunque non credo che il fenomeno da me osservato sia determinato
> dalle forze dissipative. Credo piuttosto che quale che ne sia la causa
> (azione del vincolo o (sigh) Coriolis) l'apparato di compensazione
> dello smorzamento possa mascherare tale effetto.

Io credo che l'effetto sia dovuto principalmente a quanto segue.
In un sistema degenere quale quello che stiamo analizzando (scelto un
sistema di assi cartesiani x,y possiamo scegliere i modi di oscillazione
lungo x e lungo y come base ed entrambi avranno la stessa frequenza normale
di oscillazione, cosi' come un qualsiasi altro modo di oscillazione lungo
una qualsiasi direzione) quando e' molto alto il fattore di qualita', cioe'
quando la largezza della riga e' molto minore rispetto alla frequenza di
risonanza, basta una piccola rottura della simmetria per rimuovere la
degenerazione. E quando la degenerazione viene rimossa si hanno le orbite
ellittiche di cui si sta parlando.
Nello specifico del nostro pendolo se, a causa della particolare maniera in
cui e' stata sospesa la massa, accade che la lunghezza del pendolo lungo una
certa direzione x e' L+D/2 mentre lungo la direzione ortogonale y e' L-D/2
(e lungo una qualsiasi altra direzione la lunghezza e' sempre compresa fra
L-D/2 e L+D/2) allora la degenerazione e' rimossa: i modi normali di
oscillazione sono solo due, uno associato alla frequenza NIx, l'altro
associato alla frequenza NIy.
Poniamo di mettere in oscillazione il pendolo lungo la bisettrice I e III
quadrante. Entrambi i modi normali verranno eccitati (cioe' il moto sara'
una combinazione lineare dei due modi normali), pero', poiche' il sistema
dovra' "scegliere" una certa frequenza, la scelta non potra' che essere
NI=(NIx+NIy)/2, quindi un modo oscillera' a frequenza minore rispetto alla
propria frequenza di risonanza (esempio NI<NIx), l'altro modo oscillera'
invece a frequenza maggiore rispetto alla propria frequenza di risonanza (
NI>NIy); ne segue che i due modi saranno sfasati (per cui l'orbita sara'
ellittica) e l'angolo di sfasamento, e con esso l'ellitticita' dell'orbita,
sara' funzione di (NIx-NIy).

Ovvio che su un pendolo lungo 60 metri al massimo si potra' immaginare un
valore DeltL (DeltL=differenza fra la massima e la minima lunghezza del
pendolo) al massimo dell'ordine del millimetro. Si trattera' di vedere se un
DeltL dell'ordine del millimetro potrebbe essere compatibile con i dati
riportati sopra.

Facendo un po' di conti si ha,
detto Del=NIx-NIy
NIx=NI+Del/2
NIy=NI-Del/2,
il modo x avra' fase 2 pi NI t + PSI
e il modo y avra' fase 2 pi NI t - PSI
con tan(PSI)=(NI^2-NIx^2)/(gam*NI)=(NIy^2-NI^2)/(gam*NI)
dove gam=larghezza della riga (gam<<NI --> fattore di qualita' alto)
e, nell'ipotesi Del<<NI, sara'
tan(PSI)=Del/gam.
Riassumendo, per una data ampiezza A, la legge oraria sara':
x(t) = A sin ( 2 pi NI t + PSI )
y(t) = A sin ( 2 pi NI t - PSI )
e, rispetto, agli assi X Y ruotati di 45 gradi rispetto a x y, si avra':
X(t) = SQRT(2) A cos(PSI) sin ( 2 pi NI t )
Y(t) = SQRT(2) A sin(PSI) cos ( 2 pi NI t ),
da cui si nota che l'orbita sara' una ellisse con semiassi lungo gli assi X
Y e il rapporto
semiasse minore / semiasse maggiore = tan (PSI) = Del/gam.

Possiamo finalmente passare al confronto con i dati sperimentali formiti
sopra:
poiche' lo smorzamento libero a partire da una ampiezza Amp(0) da'
Amp (t) = Amp(0) exp(- pi gam t) sin (2 pi NI t)
i dati sono
Amp(0)=395 cm
Amp(0) exp(- pi gam 50 min)=190 cm quindi
exp(pi*gam*50 min) = 395/190
gam = (1/(pi*50 min)) log(395/190) = 7.8 * 10^(-5) Hz,
essendo
semiasse minore / semiasse maggiore = 5.5 cm / 190 cm = 2.9 * 10^(-2)
si ottiene
Del = gam * 2.9 * 10^(-2) = 2.3 * 10 ^(-6) Hz.

Andiamo ora a vedere a quale differenza di lunghezza corrisponde il Del
trovato:
essendo NI = (1/ (2*pi)) * SQRT(g/L)
con L = 60 m,
si ha, differenziando,
DeltNI = (1/2) NI (DeltL/L)
dove DeltNI=variazione di frequenza di risonanza associata alla variazione
DeltL di lunghezza. Si ha:
DeltL = 2* (DeltNI/NI) L
e, preso come DeltNI il valore Del calcolato sopra, si ottiene:
DeltL = 0.7 mm.

Concludendo, una differenza di lunghezza dell'ordine di mezzo millimetro
potrebbe spiegare un moto ellittico di eccentricita' come quella riportata
dai dati. Naturalmente in questa stima ci siamo messi nelle condizioni
maggiormente favorevoli (cioe' proprio a 45 gradi dalle direzioni degli
autostati, cioe' dalle direzioni in cui si ha rispettivamente massima e
minima lunghezza). Lungo altre direzioni l'eccentricita' sarebbe minore
(oppure, per avere la stessa eccentricita' delle orbite lungo altre
direzioni sarebbe necessaria una DeltL maggiore dei 0.7 mm calcolati),
essendo ovviamente nulla lungo le direzioni degli autostati.

Ci sarebbe anche il modo, avendo a disposizione l'apparato sperimentale, di
tagliare la testa al toro:
se lungo una direzione DIR si osserva moto ellittico a rotazione antioraria,
allora lungo la direzione ORT, ortogonale a DIR, deve osservarsi moto
ellittico a rotazione oraria. Inoltre dovrebbe essere possibile individuare
delle direzioni (quelle degli autostati) lungo le quali il moto non e'
ellittico ma rettilineo.

Sopra dicevi che osservavi sempre rotazione antioraria. Ti ricordi per caso
se hai ripetuto le prove cambiando sensibilmente la direzione lungo la quale
mettevi in moto il pendolo ?

> Elio Proietti

Ciao.
-- 
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Thu Oct 20 2005 - 01:46:06 CEST

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