Consideriamo uno spazio vettoriale V infinito dimensionale.
Banach propose la seguente definizione di base di un tale spazio:
un insieme infinito di vettori linearmente indipendenti {Ei} ( "i", � un
indice, E1 , E2 , E3 , ... , sono elementi di V) � una base di V se e solo
se
per ogni x, appartenente di V, risulta x = Sum [Ai * Ei , {i , 1 ,
Infinito}]
( A1 , A2 , A3 , ... sono numeri)
Un'altra definizione di base in uno spazio vettoriale V �:
un insiemedi vettori {Ei} linearmente indipendenti � una base di V se e solo
se l'insieme W di tutte le possibili combinazioni linari finite degli {Ei}
W = { x appartenenti a V tali che x = Sum [Ai * Ei , {i , 1 , N} ] }
(N � un numero finito)
� denso in V.
Queste due definizioni in generale non dovrebbero essere equivlenti.
Ma se W � denso in V allora
per ogni x appartenente a V esiste una suessione di elementi {Yi}
appartenenti a W tale che x = limit [ Yi , { i -> infinito} ]
Ora ogni elemento della successione {Yi} � una combinazione lineare finita
dei vettori {Ei}
Ora, basandoci su quest'ultima definizione, vogliamo effettivamente vedere
se un dato insieme di vettori linear. indip. {Ei} � una base o meno.
La domanda �: dato un qualunque elemento x0 di V possiamo sempre prendere
come successione {Yi} di elementi di W la seguente:
Y1 = componente di x0 lungo la direzione di E1 per E1
Y2 = componente di x0 lungo la direzione di E2 per E2 + Y1
Y3 = componente di x0 lungo la direzione di E3 per E3 + Y1 + Y2
.. . .
Yn = componente di x0 lungo la direzione di En per En + Y1 + Y2 + . . . +
Yn-1
?
Nel caso che si possa sempre prendere una successione come quella sopra,
allora le due definizioni dovrebbero coincidere (giusto?) e quindi ci
troviamo per forza in uno spazio di Hilbert (giusto?)
Grazie e ciao
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Received on Wed Oct 05 2005 - 02:51:00 CEST