Alex_junior ha scritto:
> Mamma mia...addirittura un professore universitario mi risponde. Ma
> per correttezza ti devo dire che io sono solo uno studente di liceo,
> mi dispiace.
Non t'impressionare tanto :)
Per piu' ragioni:
1) Non sono il solo qui nel NG. E se partecipiamo, vuol dire che ci fa
piacere; quindi niente scuse.
2) Se preferisci, pensa invece che potrei essere tuo nonno: infatti ho
un nipote di 17 anni.
3) Il bello dei NG (poi c'e' anche qualche lato meno bello, ma ora non
ce ne occupiamo) e' che permette contatti che in ambiente reale
sarebbero praticamente impossibili, non solo per la distanza fisica,
ma anche per le barriere di ruolo.
> 1) sia data la traiettoria di un punto materiale. In queste
> condizioni, conoscendo la relazione s=s(t), cio� la legge oraria,
> possiamo descrivere completamente il moto.
OK
> 2) per applicare la legge oriaria nel caso 1), dobbiamo stabilire
> un'origine ed un verso (ecco i segni meno davanti ai numeri, nel caso
> in cui, da posizioni poste a destra dell'origine, si dovesse tornare
> indietro verso di essa). E' meglio a questo punto usare la s=s0+s(t),
> nel caso in cui al tempo zero il punto non si trovasse proprio
> nell'origine.
Qui c'e' un errore.
Perche' dici che e' meglio s=s0+s(t)?
La s(t) e' una funzione generica, che per t=0 puo' assumere il valore
che vuoi; non e' mica necessariamente nulla...
Qundi devi scrivere s=s(t), e per t=0 avrai s0=s(0).
> 3) La relazione appena scritta ci dice a che distanza dall'origine,
> lungo la traiettoria, si trova il punto al tempo ti, dopo essere
> partito, al tempo zero, da s0.
OK con la riserva di cui sopra.
> 4) qual � la velocit� media? Ad es., riferendoci al tratto di strada
> compiuto tra il tempo t1 ed il tempo t2, abbiamo: s(t2) - s(t1)/t2-t1
> Il limite, per deltat tendente a zero, mi d� la velocit� istantanea al
> tempo t1.
Qualche parentesi ci stava bene...
> Sia la velocit� media che quella istantanea, possono essere positive o
> negative, in riferimento al senso di percorrenza della traiettoria.
> Anche gli spostamente su di essa possono essere positivi e negativi
> per la stessa ragione e per dove � fissata l'origine. I vettori non
> c'entrano nulla.
Vero. Anche se nel caso particolare di traiettoria rettilinea puoi
pensare allo spostamento come un vettore.
In questo caso tutti gli spsostamenti e tutte le velocita' sono
vettori aventi la stessa direzione, e che possono differire solo per
modulo e verso.
Percio' diventa sensato associare a goni vetore un numero reale con
segno.
> 5) se ora volessimo applicare la relazione di sopra ad una traiettoria
> sconosciuta, avremmo un bel problema. Un grosso problema. Perch�
> questa relazione mi dice che distanza ha percorso dall'origine il mio
> punto materiale dopo il tempo t, ma non mi dice dove devo andare a
> beccare questo punto di "arrivo".
OK.
> 6) ecco la necessit� di introdurre uno strumento che mi dica come
> varia la posizione nel tempo: il vettore posizione.
Ri-OK
> 7) per realizzare ci� non devo far altro che usare tre relazioni
> scalari (per il moto nello spazio tridimensionale): una per ognuno dei
> tre assi coordinati del sistema di riferimento. Devo cio� far finta
> che ora ci siano tre punti materiali, ognuno su una ascissa rettilinea
> (cos� rientriamo nel caso della traiettoria prestabilita).
Qui ci sarebbe un discorso lungo da fare, circa l'identificazione dei
vettori con le terne di numeri.
A molti piace pensare cosi', ma ci sono anche buone ragioni per
assumere un atteggiamento diverso: assumere che i vettori esistono
*prima* delle loro componenti, che sono solo uno degli infiniti modi
di rappresentare un vettore.
Per farti capire che cosa intendo, faccio un esempoio che ti riuscira
facile: una circonferenza esiste prima della sua equazione cartesiana.
E qui il "prima" e' proprio storico: pensa al''intevallo di tempo fra
Euclide e Cartesio...
Con questo il discorso e' appena cominciato, e tocca i fondamenti
della matematica, per cui non insisto. Mi basta averti messo la pulce
nell'orecchio ;-)
> 8) definiamo vettore spostamento la differenza (vettoriale) tra due
> vettori posizione: quello al tempo t2 meno quello al tempo t1.
OK
> 9) dividendo questo vettore per t2-t1, otteniamo la velocit�
> vettoriale media.
Ancora OK
> 10) se faccio il limite per t2-t1 tendente a zero, ottengo la velocit�
> istantanea vettoriale al tempo t1.(� ovvio che questi limiti li
> calcolo per ognuna delle tre leggi orarie e poi, con la regola del
> parallelogramma, mi calcolo eventualmente il modulo della velocit�
> istantanea al tempo t1).
Si', anche se in certi casi si puo' fare il limite senza usare le
componenti.
Dovresti aver visto alemno un esempio: il calcolo dell'accelerazione
nel moto circolare uniforme.
Il fatto che si parli di accelerazione non ha importanza: si tratta
dello stesso gioco, fatto sulla variazione di velocita' invece che
sullo spostamento.
> 11) il modulo della velocit� istantanea al tempo t1 � uguale alla
> velocit� istantanea scalare che calcolerei al tempo t1 se la
> traiettoria mi fosse nota a priori (con il procedimento elencato nei
> punti da 1 a 4).
Attento ai segni! la velocita' scalare non poteva essere anche negativa?
> 12) se voglio sapere invece esattamente la lunghezza del pezzo di
> traiettoria attraversata dal mio punto materiale durante l'intervallo
> t2-t, devo moltiplicare la velocit� del punto materiaele per t2-t1 (in
> caso di moto uniforme). In caso di velocit� istantanea non costante
> nel tempo, devo integrare. Ma cosa?
> 13) Non lo so! Ma mi verrebbe da dire. Visto che devo ottenere uno
> scalare (la lunghezza di un pezzo di traiettoria), devo integrare
> evidentemente il modulo del vettore velocit� istantanea nel tempo da
> t1 a t2. Cio� sommare una infinita' di "piccolissimi" prodotti
> ottenuti moltiplicando ciascun intervallino di tempo per il valore
> della velocit� "scalare" in quell'intervallino.
Non ho capito bene che cosa vuoi calcolare: la distanza (lungo la
traiettoria) oppure lo spazio totale percorso (quello che segnerebbe
il contachilometri?
Nel secondo caso va bene quello che scrivi dopo:
> 14) Cio� INTEGR|V(t)|dt tra t1 e t2. Dove ho indicatop il modulo del
> vettore velocit� istantanea con |V(t)|
> 15) non mi viene purtroppo di integrare direttamente il vettore V(t)
> nel tempo, perch� avrei come risultato una grandezza vettoriale. Forse
> qui sbaglio pi� che altrove.
Infatti: ovviamente avresti come risultato lo spostamento vettoriale.
Se il tuo problema e' come calcolare s(t2) - s(t1) a partire da
velocita' vettoriale, la risposta e' questa:
a) Considera che V(t) (vettore) e' sempre tangente alla traiettoria.
Puoi quindi definire la velocita' scalare (chiamiamola u(t) per usare
un simbolo diverso) come quel numero che coincide co |V(t)| se V(t) e'
diretto nel verso ositivo, mentre coincide con -|V(t)| nella'ltro
caso.
b) A questo punto non hai che da integrare u(t).
> Grazie Professore.
Prego. Ma per il futuro lascia stare il "professore" ;-)
> Chiedo scusa se aggiungo quste osservazioni all'altro post.
>
> Innnanzi tutto sono felice di aver appreso questa notazione per gli
> integrali. Ma � una connvenzione per i NG o derivava da qualche
> lingiaggio di programmazione?
La risposta l'hai gia' avuta.
>> La seconda: {\int_t1^t2 |ds(t)/dt| dt} / (t2 - t1)
>> dove s(t) e' quello che ho definito sopra
> Questa vel. media per me significa:
> ...
> QUindi se pensiamo a *tutta* la strada percorsa in avanti ed indietro
> dal punto materiale sulla stessa traiettoria, esso pu� essere percorso
> in t2-t1 a qusta velocit� media.
OK
>> La terza: {\int_t1^t2 [ds(t)/dt] dt} / (t2 - t1).
> Questa � esattamente come la precedente, con la notevole differenza
> che tutta la strada percorsa all'indietro non viene considerata.
Si' che viene considerata: viene portata a sottrarre!
> Il segno meno di tali distanze percorse all'indietro, le sottrae dalla
> distanza *tutta* intesa come al punto precedente. E' quindi la vel.
> media alla quale in t2-t1 il punto percorrerebbe esattamente la
> distanza che realmente percorre, secondo la sua legge oraria, tra t1 e
> t2, ma *solo in avanti*.
Diciamo meglio: e' la distanza tra punto di partenza e punto di arrivo,
senza tenere nessun conto del moto effettivo, inclusi ritorni indietro
ecc.
Inoltre questa "distanza" puo' anche essere negativa, per cui l'uso
del termine "distanza" e' improprio, perche' e' una regola generale in
matematica che le distanze sono sempre intese positive (al piu' nulle).
>> La prima: {\int_t1^t2 [dr(t)/dt] dt} / (t2 - t1).
>> Con r(t) ho indicato il vettore posizione.
> Questa, come � chiaro dal mio precedente post (ai punti 13-14-15) non
> la capisco proprio.
> E una "sommatoria" di prodotti tra la velocit� vettoriale istantanea
> ed il tempo. Il risultato credo sia necessariamente un vettore, ma non
> riesco a capire cosa significhi, dove punti, ecc.
Sai che cosa ci sta sotto?
Nientemeno che il cosiddetto "teorema fondamentale del calcolo
integrale": che l'integrale della derivata riproduce la funzione di
partenza.
(Non ho scritto questo perche possa aiutarti a capire, ma solo per
farti vedere che stiamo toccando le radici dell'analisi matematica.)
Prova a immaginare che al posto di dr(t)/dt, che e' la vel.
istantanea, ci sia la vel. media nell'intervallino delta t. che cosa
otterrai?
La risposta stavolta non te la do ;-)
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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Wed Oct 05 2005 - 20:52:30 CEST
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