Re: FFT e poligono freq.

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sat, 01 Oct 2005 21:21:59 +0200

Alex ha scritto:
> Ho un software che fa la FFT di un segnale.
>
> Ottengo un istogramma o il relativo poligono delle frequenze.
> Sulle ascisse � la freq; sulle ordinate l'ampiezza.
Poligono? Sarebbe una spezzata che unisce dei punti?

> Cosa significa ogni rettangolino? Penso che significhi questo:
> - la parte di banda compresa entro la sua base, ha un'ampiezza pari
> alla sua altezza.
>
> E' giusto?
No.

> Mi sono per� sorti dei dubbi.
Sacrosanti :)

> Premetto che non conosco le trasf. discrete di F. n� la FFT!
La FFT e' solo un algoritmo efficiente per calcolare la DFT (trasf.
discreta).
Su questa, vedi dopo.

> Anzi, facciamo finta che non esista la FFT e che il software applichi
> la trasformata o lo sviluppo in serie classici.
>
> Quali delle due strade seguirebbe un tale software ideale?
>
> 1) prendo un segnale che, essendo limitato nel tempo, ha una banda
> continua, lo periodicizzo facendolo divenire infinitamente esteso nel
> tempo e faccio lo sviluppo in serie. Ottengo uno spettro discreto di
> righe.
Fin qui va bene.

> Accorpo un certo numero di righe in un rettangolino del poligono a cui
> impongo l'alezza data dalla somma delle singole ampiezze (la somma
> delle altezze di ciascuna riga compresa).
Non e' cosi'. Di nuovo, vedi dopo.

> 2) prendo il segnale aperiodico, lo tratto tal quale, ottenendo cio�
> uno spettro continuo con la normale trasformata di Fourier. Le
> ordinate di un tale spettro non sono PIU' ampiezze, ma densit� di
> ampiezza (diciamo dB/Hz).
Questa e' un'eresia!
Le ampiezze che ottieni da una trasf. di Fourier non sono dB, che e'
una scala logaritmica.
Poi avrebbe se mai senso sommare le *potenze* in una banda, non le
ampiezze.

> Integrando l'area sottesa allo spettro, ottengo ovviamente
> l'ampiezza di una banda conntinua qualunque.
>
> Il rettangolino significa: "la banda continua, di ampiezza pari alla
> base dello stesso, ha una ampiezza (totale) pari alla altezza del
> rettangolino).
>
> Domanda: ci sarebbe differenza tra i due approci in termini del mio
> istogramma "spettrale"?
A mio parere usare rettangolini e istogrammi per una trasf. discreta
non ha senso, e induce negli errori che stai facendo.

Il tuo segnale non avra' in nessun caso una durata infinita, e comunque
la prima cosa che si fa e' di scegliere una base dei tempi, di durata
diciamo T.

Nota per inciso:
Puo' darsi che il tuo software faccia un'operazione che e' usuale in
questi casi: uno "smoothing" dell'inizio e della fine del segnale.
Serve allo scopo di evitare degli "artefatti" su cui non mi dilungo.
Se hai il manuale, dovrebbe esserci scritto qualcosa tipo "scelta
della finestra" (di Hamming, o altre).
Fine dell'inciso.

Come hai gia' detto, a questo punto se tu facessi un normale sviluppo
in serie di Fourier, avresti uno spettro *discreto ma infinito* di
frequenze, tutte multiple di 1/T.
Pero' la trasf. discreta fa un'altra cosa: un _campionamento_ del tuo
segnale, a intervalli tau (T = N*tau, dove N e' il numero di campioni).
A questo punto si calcola la trasformata discreta, e il risultato sono
N frequenze, multiple di 1/T, e quindi fino a N/T = 1/tau (escluso,
perche' si parte da zero).

Mi chiederai: e le frequenze piu' alte dove sono finite?
Risposta: mai sentito parlare di "aliasing"?
Tutte le frequenze piu' alte sono "ripiegate" nell'intervallo fino a
1/tau.
L' ampiezza A'(f) che leggi per una certa frequenza f e' in realta' la
somma di:
A(f) + A(1/tau - f) + A(1/tau + f) + A(2/tau - f) + ...
(e ci sono anche quelle negative, come nella serie di Fourier).

Questo e' una conseguenza inevitabile del campionamento, secondo il
teorema di Shannon: per ricostruire fedelmente un segnale che ha una
durata T e una larghezza di banda W, sono necessari 2*T*W campioni.
Percio' con N campioni e durata T puoi ricostruire solo un segnale
che abbia banda < N/(2T) = 1/(2*tau).

Morale della favola: quando esegui una trasf. discreta devi sapere in
partenza la larghezza di banda del segnale, e scegliere il numero di
campioni abbastanza grande da evitare lo aliasing.
Altrimenti sono casini...
                                      

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sat Oct 01 2005 - 21:21:59 CEST