Re: Legge oraria

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sat, 01 Oct 2005 21:21:04 +0200

Come al solito, arrivo tardi...
Ma lasciatemi cominciare con un commento: ci si poteva aspettare che
un argomento di "banale cinematica" come questo non suscitasse cosi'
tanti interventi, e che per di piu' non vanno neppure tanto d'accordo.
Morale: non ci sono argomenti banali in fisica :)

Alex_junior ha scritto:
> ...
> Lo so che questo sarebbe vettorialemnte difficile o impossibile, ma
> con l'intento di esprimere le cose in senso vettoriale, che utilit� ha
> avuto sostituire la vera traiettoria allo spostamento?
>
> Forse non hoi capito niente io.
Non ti preoccupare: hai capito bene.

> Ecco qual � il punto. Sono due cose diverse. Io mi ero fatto l'idea
> che il modulo di una grandezza vettoriale dovesse essere smepre uguale
> al valore della corrispettiva grandezza scalare, cio�: |v| = v
>
> ossia il modulo della velocit� media vettoriale, � uguale al valore
> della velocit� media scalare.
>
> Questo primo esempio confuta la mia ipotesi.
No. Il tuo errore sta nell'aver supposto che il modulo della somma di
due vettori (spostamento) sia la somma dei moduli.
Pensa al caso che la traiettoria sia una spezzata fatta di due
segmenti.

Titanicus ha scritto:
> Ecco: questo � un esempio in cui le velocit� vettoriali hanno media
> nulla, ma le velocit� scalari hanno media non nulla.
A dire il vero hai fatto un po' di casino: hai calcolato la velocita'
_quadratica_ nedia, che non e' la media delle velocita' scalari...

> La definizione riportata qui sopra � senz'altro quella corretta perch�
> stabilita per convenzione (come � gi� stato detto), ma non � coerente
> con la definizione matematica di media (rapporto fra certi integrali), e
> con tutte le medie che ho visto fin'ora, dalla fisica statistica alla
> struttura della materia.
Tutte e tre le definizioni di velocita' media sono esprimibili come
integrali: vedi dopo.

> Oltre al fatto che nella dinamica come nell'elettrodinamica porterebbe a
> delle assurdit�.
???

"Alex_junior ha scritto:
> A proposito. Ho fatto un mare di esercizi a scuola considerando la
> velocit� scalare. Chess�: calcola la velocit� media di una automobile
> che impiega 2 ore per fare 100 km, oppure - anche in riferiemento alla
> velocit� istantanea - calcola la derivata in t3 della legge oraria
> s=s(t), ecc.
> Insomma...nessuna tracia di vettori.
> Fin qui tutto bene.
> In questi esercizi per�, spesso e volentieri si ricorreva a velocit�
> negative: ad esempio un corpo che cade dalla finestra ha velocit� o
> accelerazione negativa, unc orpo che sale ha segno positivo.
> Ma, mi domando, il discorso del segno non dovrebbe essere esclusivo
> dell'approccio vettoriale? Insomma il segno non indica altro che un
> verso ed il verso non dovrebbe essere riferibile ala velocit�.
Tu non puoi saperlo, ma hai toccato un tasto dolente...
Ora ti dico come la vedo io, ma avvertendo che esistono punti di vista
diversi, nei testi, fra gli insegnanti...
Senza contare che ce ne sono che semplicemente non hanno le idee chiare
e pasticciano.

Esistono in uso *tre* definizioni di velocita' media.

1) Quella vettoriale che conosci.
Di per se' non serve a niente: e' solo un passaggio per arrivare con
un limite alla velocita' istantanea, che e' davvero importante.
Non so se l'hai gia' visto, ma lo stesso gioco si ripete con
l'accelerazione: anche qui la cosa davvero importante e' l'acc.
(vettoriale) istantanea, dato che con la seconda legge della dinamica
e' connessa alla forza.
E qui i vettori ci vogliono proprio, perche' se la traiettoria e'
curva accel. e forza *non sono tangenti* alla traiettoria.
Tutto questo giustifica ampiamente la definizione, nonostante il suo
aspetto poco intuitivo.

2) Quella della vita pratica, che avete impropriamente chiamato scalare.
Ho detto impropriamente, perche' ci sono due possibili usi del termine
velocita' scalare, e si rischia di fare confusione.
Nessun problema finche' il moto si svolge sempre nello stesso verso,
ma quando ci sono "ritorni indietro" bisogna stare attenti.

La definizione della vita pratica e' quella che uso in una frase come:
"ieri sono andato e tornato da Firenze in due ore: velocita' nedia 90
km/h".
Dato che non so se sai d'integrali, te la definisco cosi': si
decompone il moto in tratti nei quali non ci sono inversioni; si sommano
i percorsi per ciascun tratto, _prendendoli tutti positivi_, e si divide
per il tempo totale.

3) Quella che il mio testo di meccanica razionale chiamava "velocita'
scalare".
Il concetto e' utile soprattutto quando la traiettoria e'
prestabilita, come una macchina in autostrada o simili. Ma trova
applicazione anche in altri casi.

Si procede cosi': sulla traiettoria, che sara' una certa curva, si
fissa un'ascissa curvilinea.
Se il concetto ti e' nuovo, ecco come si definisce.
a) Fissa un punto O (origine) e un verso positivo.
b) A ogni punto P della curva associa un numero reale (e' tradizionale
la lettera s) pari alla lunghezza dell'arco OP, preso col segno
positivo se P segue O nel verso positivo, negativo nell'altro caso.
c) Allora la legge oraria del moto e' individuata dalla funzione s(t).
Cio' fatto, hai gia' capito come si definisce la velocita' scalare
media: [s(t2) - s(t1)]/(t2 - t1).

Quello che hai incontrato negli esercizi e' un caso particolare,
quando la traiettoria e' rettilinea.
Se la vediamo cosi', in questo approccio i vettori non c'entrano.

Ora una chiosa per Titanicus.
Tutte e tre le definizioni di velocita' sono integrali.

La prima: {\int_t1^t2 [dr(t)/dt] dt} / (t2 - t1).
Con r(t) ho indicato il vettore posizione.

La seconda: {\int_t1^t2 |ds(t)/dt| dt} / (t2 - t1)
dove s(t) e' quello che ho definito sopra.

La terza: {\int_t1^t2 [ds(t)/dt] dt} / (t2 - t1).
                                                        

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sat Oct 01 2005 - 21:21:04 CEST

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