[..]
> Ciao, grazie per i consigli, li consulter� senz'altro anche se sono a
> corto di tempo ;)
Allora cancella il primo che � il + semplice :-)
> Comunque in genere le
> > curve su cuisono discontinue le derivate delle grandezze
> > termofluidodinamiche, ma non le grandezze stesse, sono le curve
> > caratteristiche. Per alcuni regimi di moto le curve caratteristiche
sono
> > anche il limite, per intensit� infinitesima, delle onde d'urto.
>
> Si, mi sono dimenticato di scriverlo..allora, spiego un minimo il
problema:
> Le equazioni sono molto semplificate dal fatto che sto considerando
> simmetria sferica (con una sorgente puntiforme) e inoltre considero
> flusso stazionario. La superficie caratteristica (che � sferica) � posta
> in r=h. Per r<h risolvo le equazioni per un fluido ideale con una
> certa equazione di stato (barotropica), per r>h stessa cosa ma con
> equazione di stato diversa. Le equazioni di R-H impongono dei vincoli
> sulle condizioni iniziali e, come ho detto, � possibile anche rendere
> continue tutte le grandezze dinamiche.
Questo lo credi tu :-) mi c'� voluto un p� ma ho dimostrato che non pu�
esistere un moto comprimibile, stazionario e a simmetria sferica di un
fluido ideale, che sia anche continuo in tutto |R^3 meno l'origine.
Dimostrazione: considero per semplicit� il caso di un solo gas
perfetto. Le equazioni da risolvere sono
1) rho*V*r^2=Q; conservazione della massa
2) d(r^2*rho*V^2)/dr+r^2*dp/dr = 0; conservazione della q.t� di moto
dove rho � la densit�, V � la velocit�, Q � la portata in massa (divisa
4*pi) che entra dall'origine degli assi, p � la pressione. Ora, se il
moto fosse continuo come credi, allora, essendo il fluido ideale,
l'entropia di ogni particella di fluido sarebber costante(niente
viscosit�, niente conduzione termica, composizione chimica costante
ecc.). Lascio a te la dimostrazione rigorosa, comunque sappi che questi
moti sono isentropici e ad entalpia totale costante (l'entalpia totale H
� la somma dell'entalpia sensibile per unit� di massa h e dell'energia
cinetica per unit� di massa V^2/2). Quest'ultimo risultato � il teorema
di Bernoulli comprimibile che ci consente di sostituire una delle due
equazioni differenziali con un integrale del moto:
3) V^2/2 + h =h_0
dove h_0 � l'entalpia che raggiungerebbe una particella di fluido che
fosse portata a velocit� nulla tramite un processo adiabatico
reversibile. Introducendo a velocit� del suono, M = V/a numero di
Mach, 3) diviene
4) a_0^2/a^2 = a_0^2/h_0 * (h/a + M^2/2)
Solo a questo punto introduco l'ipotesi di gas perfetto che fornisce
h/a = 1/(gamma-1) (dimostralo) e quindi ho:
5) a_0^2/a^2 = 1+(gamma-1)/2*M^2
Inoltre, poich� a_0/a = (rho_0/rho)^(gamma-1) (anche questo lo lascio
a te) vale pure
5') rho_0/rho = (1+(gamma-1)/2*M^2)^(1/(gamma-1))
Torniamo a 1):
r^2 = Q/(rho*V) = Q*(rho_0/rho)*(a_0/a)/(rho_0*a_0*M) =
Q/(rho_0*a_0*M)*(1+(gamma-1)/2*M^2)^((gamma+1)/(2*(gamma-1)))
abbiamo ottenuto r^2 come funzione di M. Lascio a te dimostrare che
per M = 1 la funzione r^2 = f(M) ha un minimo pertanto anche r
assume valore minimo per M = 1. Questo vuol dire che il moto �
definito solo all'esterno di una sfera su cui M = 1, e sar� ovunque
subsonico, tendendo a velocit� nulla per r -> +inf, oppure
supersonico, tendendo non a velocit� infinita ma alla velocit�
limite V_lim = sqrt(2*h_0) per r -> +inf. Quindi, innanzi tutto un moto
che sia ovunque continuo tranne che nell'origine non � possibile. Se
vuoi che il moto sia stazionario, comprimibile e ideale, devi introdurre
una regione di discontinuit�, che permette il "salto" da una soluzione ,
quella supersonica, all'altra, quella subsonica, tramite un'onda d'urto
di compressione.
Se ancora non ti sei addormentato :-) mi dirai "ma che c'azzecca tutto
ci� col mio quesito"? C'azzecca perch� tu parli di una superficie
caratteristica in corrispondenza di r = h dove h non varia con t se no
il moto non pu� essere stazionario. Ma per moti comprimibili stazionari
di fluidi ideali le caratteristiche si muovono con velocit� pari a
quella del suono rispetto al flusso, pertanto se la superficie
caratteristica di separazione � fissa, evidentemente M = 1 qui.
Dopodich�? Il fluido che "arriva" qui come passa dall'altra parte se non
esiste soluzione continua che possa raggiungere M = 1? Mi pare chiaro
che ci dev'essere un'onda d'urto e non la soluzione continua di cui parli.
Comunque fammi sapere pure che ne pensa il tuo prof di tesi, e toglimi
un'altra curiosit�: se da un lato hai un fluido con una certa equazione
di stato e dall'altro lato un fluido con eds diversa, il fluido che
attraversa la caratteristica (o onda d'urto?) che fine fa? Scomparire
non pu�, pertanto devi ammettere, che so, una reazione chimica che
trasforma l'uno nell'altro? Ma allora la somma di energia cinetica ed
entalpia NON � costante attraverso r=h, devi modificare le R-H.
Per� sulla superficie
> caratteristica c'� un punto flesso a tangente verticale (o una cuspide a
> seconda della grandezza) e, quindi, le derivate divergono sulla
> superficie caratteristica.
> Pi� che lo studio delle onde d'urto mi basterebbe sapere se queste
> condizioni sono problematiche per discutere le soluzioni delle equazioni
> che ho risolto (perch� le derivate entrano nelle equazioni dinamiche, il
> fatto che divergano pu� essere un problema?).
No, quando le equazioni differenziali sono iperboliche come le tue, ci
sono un sacco di soluzioni ben note in cui questo accade, come il flusso
di Prandtl-Meyer per le equazioni di Eulero 2D supersoniche. Il problema
secondo me � un altro, come dicevo.
>
> E' possibile
> > che da qualche parte nel tuo ragionamento tu abbia introdotto, senza
> > accorgertene, un'ipotesi di discontinuit� infinitesima?
> >
>
> Scusa l'ignoranza ma cosa vuol dire "discontinuit� infinitesima"? ;)
Per questa volta sei scusato, ma devi studiare un p� meglio la teoria
delle soluzioni deboli ;-)) E' proprio una curva caratteristica. In
pratica, per le equazioni iperboliche, 2 soluzioni continue avente
"carattere" diverso possono essere "matchate"
attraverso una superficie di discontinuit�, attraverso cui le grandezze
dinamiche (p, V, ecc.) avranno dei salti, ma massa, quantit� di moto ed
energia saranno costanti. Se porti a 0 l'intensit� del salto, cio�
l'intensit� della discontinuit�, la superficie tende ad una curva
caratteristica, cio� in ogni punto ha proprio l'inclinazione rispetto al
flusso di una curva caratteristica (si dimostra). Ergo le grandezze
dinamiche divengono continue, ma, essendo le due soluzioni ancora di
carattere "analitico" diverso, le derivate saranno discontinue
attraverso la caratteristica. Per esempio, avrai unito una soluzione
costante (derivate nulle) ad una che lungo la caratteristica � costante
(ci dev'essere continuit�) ma da l� in poi varia.
Pensa invece ad una soluzione continua di un'equazione ellittica: l�
caratteristiche reali non ne hai, pertanto se in un sottodominio la
soluzione � costante, lo � ovunque, non puoi "matcharla" mediante
"discontinuit� infinitesima" con nient'altro.
[..]
> Si, infatti avevo pensato di postarlo l�, ma tanto vale ti mandavo
> un'email ;). Almeno cos� chiunque se vuole pu� partecipare..nell'attesa
> (e speranza) che il ng di fluidodinamica si popoli
>
> Ciao e grazie
>
ciao, prego,
Andrea
--
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italiano per discussioni sulla fluidodinamica in tutti i suoi aspetti
(teoria, esperimenti, simulazioni, ecc.) e applicazioni.
Received on Sun Sep 25 2005 - 13:12:54 CEST