Il 16 Ago 2005, 22:03, "Hypermars" <hypermars_at_despammed.com> ha scritto:
>
> "Tetis" <gianmarco100_at_inwind.it> wrote in message
> news:82Z89Z29Z18Y1124193494X4692_at_usenet.libero.it...
> >
> > mi avrebbe fatto piacere sapere da te se � un risultato noto.
>
> Elio e' sicuramente piu' adatto di me a rispondere a una domanda simile
> > Circa il metodo che hai descritto nella risposta a Fabri
> > devo sollevare una perplessit�: tu essenzialmente puoi
> > sviluppare il potenziale ad un certo ordine perturbativo
> > qualsiasi con distanza finita. E poi fare il limite per distanza
> > nulla.
>
> Lo sviluppo pero' si fa con il parametro R/d, dove d e' la distanza tra i
> centri e R il raggio delle sfere. Quindi, quando la sfera sfiora il piano,
> il parametro tende a 1/2, che e' minore di 1 comunque. Anche con questa
> specifica intravedi problemi?
Anzitutto mi scuso per la lunga assenza, il collegamento in
estate, durante le ferie � un poco difficile. Diverse cose non
capisco. Anzitutto nel problema che ponevi non si parla di
sfere uguali, bens� una � una sfera e l'altro � un piano.
E se vuoi trattare il piano come limite di una sfera devi
allontanare il secondo centro a distanza infinita, quindi infinito
sarebbe la distanza fra i centri. Ancora non
ho chiaro dove poni il centro di sviluppo in multipoli, se nel
centro di una delle sfere oppure sul piano. Infine quello che
mi sembra pi� strano � che
io nel frattempo ho messo a posto con pi� attenzione lo schema
risolutivo che avevo suggerito, ho scritto la ricorsione per le cariche
immagine, l'ho graficata per un certo numero di iterazioni, ho studiato
il comportamento asintotico approssimando la ricorsione con una
equazione integrale che ho risolto in trasformata di Laplace, ho dimostrato
che la serie delle cariche immagine � convergente, anche se la serie del
potenziale � singolare nel punto di contatto ed ho calcolato il potenziale
in un punto della sfera che non � quello di conttatto, qui la serie del
potenziale
converge. Quello che trovo con questo approccio � che
i termini pi� importanti di correzione sono essenzialmente dovuti alle
immagini nei pressi del centro della sfera. L'effetto della prossimit�
del piano � uno schermo sulla carica centrale, che viene ridotta dal
valore iniziale fino a meno della met� con poche iterazioni ed ad un
quarto del valore iniziale con solo 15 iterazioni.
Ma quando pongo la distanza
a zero la serie delle immagini converge logaritmicamente. Ad ogni modo
iterando
solo 12 volte la ricorsione delle immagini trovo un potenziale circa .26
iterando 25 volte trovo .23, e la serie continua a scendere verso il valore
asintotico con molta lentezza, l'errore residuo � stimato bene da 1/ln(n) .
Quindi il potenziale a convergenza sarebbe sicuramente minore di .23.
Il valore limite ottenuto estrapolando al comportamento asintotico dei
primi 25 termini � intorno
a .16 .17. Per inciso questo fornisce il teorema che ipotizzavo ed anche
qualcosa di pi�. Infatti questo comportamento asintotico dice che il
potenziale
della sfera quando molto vicina al piano � molto sensibile a piccolissime
variazioni della distanza. Vedi dopo per una stima quantitativa
approssimativa
di questa sensibilit�.
L'effetto pi� rimarchevole di una serie logaritmicamente convergente
� che quando ti sembra di avere raggiunto la convergenza, perch�
da un termine di sviluppo all'altro la differenza � proprio esigua, in
effetti puoi essere ancora lontanissimo dal tuo scopo, per dire la
portata della difficolt� in termini numerici: per ottenere una precisione
di 1% devi sommare 10^43 termini della somma, per ottenere
una precisione del 20% te ne bastano 10 e nell'intervallo fra 1000 e
10000 la variazione relativa copre una frazione di appena 6%, ma
calcolando i restanti 10^43 termini hai una variazione ancora pi�
ridotta: del 5%.
Da un punto di vista pratico diventa importante essere abili a determinare
dai pochi valori calcolabili direttamente il comportamento asintotico.
(Btw, non trovo pi� il file con i conti del prof. Fabri, se
ne pu� avere una copia leggibile ancora per un poco di tempo?)
> > Da quello che dici non mi
> > � ancora chiaro se la soluzione che proponi conserva l'ordine di somma
> > necessario per la convergenza dominata oppure no.
>
> Secondo me si, osservando il comportamento numerico dei coefficienti dello
> sviluppo presi ad ordine crescente.
Vedi quanto dico in fondo: occorre guardare questo sviluppo
nel suo valore limite. Ovvero quando la distanza � zero. Non a distanza
finita. Per distanza assegnata diversa da zero non ci sono problemi di
sorta. La sensibilit� alla distanza eps � stimata, pur se un poco
forzatamente, da 1/ln(a/eps). La forzatura principale sta nel fatto che
la serie limite ha un comportamento asintotico che a sua volta �
raggiunto lentamente. Quindi estrapolare da pochi valori � problematico,
si richiederebbe uno sviluppo in serie della trasformata di Laplace per
valutare quanto lontani siamo dal comportamento asintotico per bassi
valori della serie e questo non l'ho fatto.
> > Intanto mi � preso il desiderio di comprare un Voltmetro da portare
> > appresso. Anche qui le difficolt� non sarebbero lievi: fra superfici
> > metalliche si rischia una scarica, con superfici smaltate ci sono gli
> > effetti di polarizzazione dello smalto, insomma anche l'idea di
avvicinare
> > una sfera di un cuscinetto al pannello anteriore di un frigo tenendo
> > questo a terra e la sfera carica non � esente da difficolt� di
principio,
> > quindi misurare il potenziale con la sfera molto lontana dal frigo e poi
> > con la sfera molto vicina non � esente da difficolt� di principio.
>
> Beh, invece di portarla molto vicina si puo' portarla "abbastanza" vicina,
e
> rovesciare l'esperimento: a che distanza dal piano il potenziale della
> sfera, che all'infinito e' 1V, si abbassa a 0.75 V? (o altro valore). Dai
> calcoli, tale distanza si ricaverebbe come valore particolare del
parametro
> R/d che fa convergere la serie al valore richiesto. Poi si confronta.
Intelligente proposta, per� occorre andare molto vicino se si vuole testare
il comportamento dei termini pi� alti della serie. Quello che dico � che
finch� c'� una distanza finita il passo di convergenza � a/eps dove a �
il raggio della sfera, ed eps la distanza. Ovvero bastano a/eps iterazioni
del metodo delle immagini per ottenere convergenza. Ma non sai quanto
possono pesare gli altri termini di questa serie per distanze pi� piccole
finch� non trovi il loro comportamento asintotico, come ho fatto, spero
correttamente, io. E quello
che io trovo � che contano, non tantissimo, ma abbastanza. Passando
da a/eps=e^3 ad a/eps=e^4, ovvero per una variazione relativa della distanza
del centro, relativamente esigua, la variazione relativa � di 1/3-1/4=1/12.
Questa sensibilit� in effetti potrebbe essere controllata sperimentalmente.
Spero di non rimanere deluso dall'esperimento se e quando avr� la
possibilit� di effettuarlo. Ma tu intanto mi dici come hai fatto a trovare
quel valore che suggerivi? Cio� si pu� vedere qualche espressione
esplicita?
> Bye
> Hyper
>
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Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Mon Aug 29 2005 - 18:28:46 CEST