Nel caso in cui il ragionamento intuitivo sul numero di viaggi non ti
avesse convinto, questo e' il calcolo esplicito.
Indico con:
S(k) = distanza tra i due treni al viaggio k-esimo di andata del
piccione (di andata dal treno A al treno B);
S(k+1) = distanza nel viaggio k-esimo di ritorno = distanza in andata
al viaggio (k+1)-esimo.
Nel viaggio complessivo di andata e ritorno k-esimo, il piccione
percorre uno spazio pari a S(k) + S(k+1) a velocita' V1 mentre il
treno percorre (rispetto all'altro treno) uno spazio pari a S(k) - S(k
+1), nello stesso intervallo di tempo tk, percio' si ha:
S(k) - S(k+1) = V0*tk
S(k) + S(k+1) = V1*tk
eliminando tk risulta che:
S(k+1) = (V1-V0)/(V1+V0) * S(k) = a*S(k)
avendo indicato con "a" la costante (V1-V0)/(V1+V0).
0<a<1 in quanto 0<V0<V1.
Poiche' S(0) = D, si ha che:
S(k) = a^k * D
Posso quindi calcolare lo spazio totale percorso dal piccione come
somma di tutti gli n viaggi complessivi (di andata e ritorno) ed
imporre che tale somma sia pari a D * V1/V0 (calcolata nel post
precedente):
Somme[k=0;n] {S(k) + S(k+1)} = D * V1/V0
Somme[k=0;n] a^k*(1+a)*D = D*V1/V0 = D*(1+a)/(1-a)
Somme[k=0;n] a^k = 1/(1-a)
{1 - a^(n+1)} / (1-a) = 1/(1-a).
Ma l'ultima uguaglianza e' vera solo per N = oo.
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cometa_luminosa = BlueRay
Received on Wed Dec 21 2011 - 20:04:44 CET