Re: Spazio metrico ed assioma sulla disuguaglianza triangolare

From: Arcobaleno <22456invalid_at_mynewsgate.net>
Date: Sun, 25 Dec 2011 09:04:41 GMT

lefthand <nontelodico_at_qui.da.me> ha scritto:

> Il Thu, 15 Dec 2011 22:51:53 +0000, Arcobaleno ha scritto:
>
> > La tua risposta forse mi ha fatto venire in mente la domanda giusta: a
> > cosa serve l'assioma sulla disuguaglianza triangolare nella struttura di
> > spaizo metrico?
> >
> > Se per es. uno non lo mette quell'assioma cosa può succedere?
>
> E' una domanda interessante. Così su due piedi direi che non puoi avere
> una metrica, ma dovrei studiarmi meglio la questione. Comunque, per
> esempio uno spazio proiettivo non è dotato di metrica, ma conserva altre
> proprietà.
>

Come sai la disuguaglianza triangolare stabilisce il fatto che la somma di
due lati di un triangolo sia maggiore all'altro lato.

Questo fatto si realizza anche con i triangoli costruiti sulla superficie
sferica per esempio. Probabilmente � un fatto talmente evidente che � stato
postulato.

Pensare per es. alla possibilit� di un triangolo che ha uno dei lati maggiori
alla somma degli altri due ci conduce ad una verit� se nel costruire il
triangolo invece di usare rette (o geodetiche o altre linee simili) usiamo
curve senza tenere conto del fatto che si tratta di usare curve di MINIMO
percorso tra due punti.

Si tratta cio� di un assioma che definisce il fatto che la minima distanza
tra due punti sia la linea retta nel piano e la geodetica sulla superficie
sferica e curve simili su altre superfici.

Anche per altro genere di metriche non immediatamente riconducibili a fatti
geometrici il problema si ripropone.

Per es. noi per stabilire la distanza roma milano possiamo usare il costo del
biglietto del treno. Cos� per milano torino, torino firenze, roma firenze ecc
ecc.

Ora se queste distanze sono realizzate tenendo conto del percorso minimo tra
le due citt� ecco che la disuguaglianza triangolare funziona e funziona anche
dire che in base al prezzo del biglietto ecco che la tratta firenze roma
costa meno della tratta milano roma.

Tuttavia se la tratta firenze roma viene realizzata in modo tale che il treno
si fa un giro per la sicilia e poi torna a firenze ecco che la metrica non
funziona pi�.

Per noi � talmente EVIDENTE il fatto che queste tratte debbano essere
realizzate con percorso minimo che neppure ci viene di postularlo mentre
invece deve essere postulato altrimenti ogni possibile metrica perde la sua
essenza e cio� il suo essere metrica.

La stessa cosa vale anche su altri insiemi che non siano il prezzo del
biglietto del treno.

Cio� � ovvio che il prezzo milano torino + il prezzo torino genova debba
essere MAGGIORE al prezzo genova milano.

Al massimo (come dice la disuguaglianza triangolare) il prezzo deve essere
uguale e cio� dobbiamo pensare ad una tratta dove le tre citt� sono tutte
sulla linea retta.

Se tre punti sono sulla retta ecco che la somma delle due distanza AB e AC �
uguale alla distanza AC.

Devo dire che per� a queste conclusioni per me corrette non sarei arrivato se
non avessi avuto lo stimolo di poterne parlare qui con gli amici del ng e con
te in particolare che mi hai aiutato con profonda gentilezza:)

Ciao e sinceramente grazie!
A.
Received on Sun Dec 25 2011 - 10:04:41 CET