"stefjnoskynov" ha scritto:
> L'integrale riguarda l'energia per unit� di
> volume emessa da un corpo nero, la formula � la seguente:
>
> U/V=\frac{(kT)^4}{\pi^2 \hbar^3 c^3}\cdot\int_0^{+infty}dx\frac{x^3}
> {e^x-1}
>
> ove x=(\hbar\omega)/(kT)
>
> Insomma la variabile x serve per adimensionalizzare la variabile di
> integrazione, poi dentro l'integrale c'� a numeratore un x^3 e a
> denominatore il solito fattore che proviene dalla distribuzione di
> fermi-dirac ossia (e^x-1).
....
Che roba sarebbe l'energia per unit� di volume *emessa* da un corpo nero?
Se ho ben capito devi integrare la distribuzione spettrale della
densita' di energia su tutto lo spettro.
Comunque il problema matematico e' calcolare l'integrale:
I = Integrale[x^3 / (exp(x) - 1) dx, da 0 a +oo].
Scriviamo il termine 1/(exp(x) - 1) come:
1/(exp(x) - 1) = exp(-x) / (1 - exp(-x))
che e' la somma della serie geometrica:
Sum[exp(-nx), n = 1, +oo],
da cui sostituendo in I e portando fuori la sommatoria:
I = Sum[Integrale[x^3 * exp(-nx) dx, da 0 a +oo], n = 1, +oo].
Calcoliamo l'integrale dentro la sommatoria usando il teorema
di derivazione sotto il segno di integrale:
Integrale[x^3 * exp(-nx) dx, da 0 a +oo] =
-d^3/dn^3 (Integrale[exp(-nx) dx, da 0 a +oo]) =
-d^3/dn^3 (1 / n) = 6 / n^4,
sostituendo in I:
I = 6 * Sum[1 / n^4, n = 1, +oo],
la sommatoria si esprime per mezzo della funzione zeta di Riemann:
Zeta[s] = Sum[1 / n^s, n = 1, +oo],
da cui:
Sum[1 / n^4, n = 1, +oo] = Zeta[4] = Pi^4 / 90
(calcolo fatto da Mathematica, oppure cerca su tabelle di
funzioni speciali)
e quindi finalmente:
I = Pi^4 / 15.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Mon Aug 15 2005 - 10:02:47 CEST