Re: integrale per energia corpo nero

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Tue, 16 Aug 2005 21:13:33 +0200

stefjnoskynov ha scritto:
> mi aiutate in queste torride giornate di agosto a risolvere un
> integrale riguardante il corpo nero? L'integrale riguarda l'energia
> per unit� di volume emessa da un corpo nero, la formula � la seguente:
>
> U/V=\frac{(kT)^4}{\pi^2 \hbar^3 c^3}\cdot\int_0^{+infty}dx\frac{x^3}
> {e^x-1}
>
> ove x=(\hbar\omega)/(kT)
Ma non potevi limitarti a scrivere

\in_0^\infty frac{x^3 dx}{e^x - 1}

invece di quell'abominevole formula che hai scritto?

> ... il solito fattore che proviene dalla distribuzione di
> fermi-dirac ossia (e^x-1).
Facciamo Bose-Einstein, visto che i fotoni sono bosoni?

> 1) moltiplico e divido per e^(-x) in modo che il denomin diventa (1-e^(-
> x))
>
> 2) sviluppo in serie geometrica il fattore 1/(1-e^(-x))
>
> 3) infilo il fattore e^(-x) del numeratore dentro lo sviluppo in modo
> che esso parta da 1 anzich� da zero
>
> 4) "infilo" l'operazione di integrazione dentro l'operazione di
> sommatoria
>
> 5) mi accorgo che all'interno della sommatoria c'� una gamma di eulero
> \gamma(4) da esplicitare
OK fin qui.

> 6) mi rimane una sviluppo in serie che io ritengo si possa fermare al
> primo secondo ordine e che si pu� scrivere 1-2^(-4)
Intanto sara' + : la serie non e' a segni alterni:

1 + 2^(-4) + 3^(-4) + ...

Ma soprattutto: perche' dovresti fermarti ai primi due termini? La
somma della serie e' la zeta(4) (zeta greca di Riemann) e vale
\pi^4/90 = 1.0823...
Coi primi due termini ottieni 17/16 = 1.0625

> Insomma quel che mi esce fuori facendo l'integrale � 16*17/24,
?

> quello che invece si trova sui libri che trattano il corpo nero �
> 1/15... :-/
Il resto sono fattori che ti sei perso da qualche parte.
                                

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Tue Aug 16 2005 - 21:13:33 CEST