Re: Senso fisico delle serie condizionatamente convergenti

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: Fri, 08 Jul 2005 21:01:09 GMT

Davide Venturelli wrote:
> Ciao a tutti,
> in fisica dello stato solido, per il calcolo dell'energia di Madelung,
> ho incontrato una serie condizionatamente convergente,....

> Il problema e' risolto attraverso il metodo di
> Ewald (che fa uso della trasformazione teta e alla fine arriva a due
> integrali che convergono dipendentemente dalla buona scelta di un
> parametro)...

No. per ogni valore finito del parametro convergono senza problemi.

> Mi chiedo io... ma che senso ha avere a che fare con serie
> condizionatamente convergenti quando stiamo lavorando con equazioni
> lineari dove vige il principio di sovrapposizione?

Il richiamo al principio di sovrapposizione non l' ho capito. Pero' e'
  un dato di fatto che le somme coulombiane sono condizionatamente
convergenti.

>L'Aschroft-Mermin
> (se non ricordo male.. o forse era il Kittel) affronta in modo
> abbastanza superficiale l'argomento dicendo che se non sommiamo nel
> modo giusto possiamo arrivare ad una qualunque energia semplicemente
> modificando le condizioni superficiali e riarrangiando i termini in
> maniere diverse.

Non sono i soli. L' argomento e' riportato in modo oscenamente fumoso
praticamente in quasi tutti i testi di stato solido che conosco :-(
col risultato che una persona sveglia resta interdetta dal gioco di
prestigio secondo cui il metodo di Ewald (o equivalenti) trasforma una
serie da cui si potrebbe ottenere qualsiasi numero reale ad una che
converge tranquillamente ad un' unica risposta.


> A me questa cosa non piace affatto, pero' forse ho capito male e le
> serie convergono sempre, solo che piu' lentamente..

Piacere o meno, e' il dato di fatto. La convergenza e' condizionata.
Non lenta.

> Insomma come interpretare fisicamente queste serie "condizionatamente
> convergenti"?

La condizionata convergenza matematica e' reale (alla fin fine ci sono
dei teoremi a riguardo). E l' origine del risultato ambiguo puo' essere
ricostruita anche se uno ha dimenticato o non ha mai studiato il teorema
(se non ricordo male attribuibile a Dini) secondo cui la somma di una
serie condizionatamente convergente puo' essere qualsiasi numero reale
da -infinito a +infinito a secondo di come si riordinano i termini.
Prendi p. es; Il caso di un reticolo 1D con ioni a distanza uguale (c'e'
sul Kittel). L' energia coulombiana risulta proporzioanle alla somma
della serie armonica alternata:

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ....

Kittel gioca sporco quando dice che la somma e' log 2. Perche' omette
di dire che il risultato e' vero solo se si sommano i termini nell'
ordine in cui sono scritti.

Ma perche' mai dovrei seguire quest' ordine ? Si puo' invece
dimostrare che posso fissare un numero K sommare i termini positivi in
ordine decrescente e poi i negativi e cosi' via in modo che la somma
tenda a K. E questo e' il cuore delle convergenza condizionata.

Che ha ovviamente un' origine fisica: il potenziale coulombiano e' a
lungo range e l' energia di un sistema macroscopico (ovvero l' energia
per particella di un sistema infinito) non sono indipendenti da come
costruisco il sistema macroscopico. In altri termini, ho una dipendenza
dalla superficie del sistema. Al limite termodinamico (sistema infinito)
  la superficie non c'e' piu' ma il risultato dipende dalla sequenza di
sistemi che ho usato per raggiungere il limite.

Ci sono un paio di lavori degli anni '70 in cui si faceva vedere come,
partendo da sistemi carichi finiti di forma approssimativamente
ellissoidale, l' energia al limite infinito dipendeva crucialmente
dalle condizioni alla superficie (e quindi anche dalla forma dei
campioni). Si trattava di un piccolo tour de force fisico-matematico.
Pero' il succo fisico del discorso e' che l' energia per particella
del sistema finito dipende da un termine " di volume" ma anche da
termini legati alla forma della superficie.

Cambiare l' ordine della somma e' assimilabile a cambiare la superficie
   del campione in crescita. Nulla di strano che si possa ottenere di
tutto. I metodi alla Ewald in realta' non trasformano la somma cond.
convergente in una assolutamente convergente. Bensi' presuppongono che
  sia stata decisa la procedura di somma (e quindi il risultato) e a
partire da questa serie (che converge lentamente) operano in modo da
trasformarla in una o piu' serie velocemente convergenti.

Si puo' mostrare (ma non e' per nulla semplice) che il metodo di Ewald
corrisponde a sommare la serie in modo da eliminare il termine di
superficie (o come si dice spesso corrisponde a sommare celle cariche
messe all' interno di un conduttore).

Sono convinto che la parte centrale del discorso potrebbe esser resa
piu' accessibile che negli articoli originali. Pero' non sono al
corrente di tentativi seri in tal senso. Forse prima o poi dovro' fare
  un tentativo io... :-)

Giorgio
Received on Fri Jul 08 2005 - 23:01:09 CEST