> OK, per seguire il _tuo_ punto di vista convenzionalista, quello che
> dovresti fare,
> per vedere se davvero la tua proposta e' piu' maneggevole/utile/...
> di quella standard, � di riformulare _tutta_ la relativita' speciale e
> generale ,
> e le varie applicazioni, usando i modelli non archimedei.
> Poi si puo' discutere su qualcosa di concreto.
> Ciao, Valter
Aggiungo qualche commento, per facilitarti l'opera se davvero la vuoi
intraprendere.
1) Prima di tutto non mi pare che con il tuo approccio riuscirebbe
(sempre che tu lo sviluppi) davvero ad eliminare la struttura di
varieta' differenziabile dello spaziotempo (in relativita' speciale
in realta' tale struttura non e' affatto necessaria, e' sufficiente quella
di spazio affine).
Questo perche' la nozione di velocita' e' una nozione che vive nella
struttura metrica definita in ogni spazio tangente.
Quello che arrivi a toccare, se ho capito bene quello che hai detto,
e' al piu' solo la struttura metrica (prodotto scalare indefinito in
ogni spazio tengente). Ma forse nemmeno quella.
Non vedo, da quello che hai detto come si possa arrivare a
ridiscutere la struttura differenziabile dello spaziotempo.
2) Il fatto di ridefinire (in modo coerente) la velocita' della luce come
infinita non assicura automaticamente una "semplice" legge di
composizione delle velocita' (metto le virgolette perche' la nozione
di semplicita' e' soggettiva).
Per esempio, credo sia impossibile, ma non ho mai provato a
dimostrarlo, riprodurre la legge galileiana. Almeno in questa
direzione e' difficile trovare qualche semplificazione rispetto alla
trattazione standard.
3) Esiste un modo per "rendere infinita" la velocita' della luce,
gia' nota a chi maneggia il gruppo di Lorenz ed � connessa
alla non compattezza dell'insieme delle trasformazioni pure
(o boosts) di Lorentz che e' omeomorfo a R^3. Fissato un
riferimento inerziale, gli elementi di tale insieme sono in
corrispondenza biunivoca con le velocita' di tutti gli altri possibili
riferimenti inerziali rispetto a quello fissato
C'e' qui una nozione, che a volte si chiama "rapidita'",
che e' un parametro piu' "naturale" della velocita' relativa per
descrivere questa parte del gruppo di Lorentz .
Prendi i vettori nella palla aperta di R^3 di raggio c=1 (velocita'
della luce usata come unita' di misura delle velocita').
Questi vettori descrivono tutte le velocita' di un possibile sistema
di riferimento inerziale rispetto ad uno fissato. Il fatto che la palla
sia aperta significa che non esistono, per principio, riferimenti
inerziali in moto relativo alla velocita' della luce.
Se V e' un vettore qualsiasi in tale insieme, si puo' ovviamente
scrivere
V = |V|n
dove n e' un versore di direzione qualsiasi e |V| < 1.
Bene, la rapidita' di V e' il vettore di R^3
X = x n
dove
x = arcsinh (|V |/ sqrt{1 - |V|^2})
Si dimostra che la mappa che manda V in X e'
un diffeomorfismo dalla palla di raggio 1 a tutto R^3.
Questo diffeomorfismo ti dimostra tra le altre cose,
dando opportune definizioni, che il sottoinsieme del
gruppo (di Lie) di Lorentz dato dai boost e'
diffeomorfo a R^3.
Dal punto di vista fisico X puo' essere interessante anche
perche' si riduce a V per "velocita' piccole":
X(V) = V + |V|O(V)
(O e' una funzione a valori in R^3 infinitesima per V->0).
Quindi per "velocita' piccole" (rispettoa c) non possiamo
distinguere la velocita' da X.
Forse se viaggiassimo a velocita' prossime a c comunemente
useremmo X in vece di V.
E' evidente che ci sono infiniti altri modi di mappare, con la
regolarita' voluta, la palla delle velocita' in tutto R^3, facendo
diventare infinita la velocita' della luce.
Tutto questo e' OK per quanto riguarda le trasformazioni tra
riferimenti inerziali per cui la velocita' relativa c non e' ammessa.
Ma se volessimo usare sempre e solo la rapidita' X (o qualche
sostituto), come descriveremmo la cinematica dei raggi di luce?
Non dico che sia impossibile, ma forse la difficolta' del formalismo
standard (ammesso e non concesso che ci sia, per quanto
mi riguarda) uscita dalla porta rientrerebbe dalla finestra
Ciao, Valter
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Received on Sat Jul 09 2005 - 15:19:56 CEST