Re: Dinamica del movimento di una sfera all'interno di un cono

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Tue, 14 Jun 2005 21:38:49 +0200

Marco M. ha scritto:
> Ciao a tutti! Vorrei sapere dove posso trovare come si comporta una
> pallina che ruota all'interno di un cono e piano piano ragginge il
> vertice spinta dalla forza di gravit�. Conosco la posizione e la
> velocit� iniziale e le dimensioni del cono. Credo che la forza che
> spinge la pallina verso il basso sia la somma(vettoriale) della forza
> peso e della forza centripeta. Purtroppo per conoscere la dinamica
> completa bisogna lavorare di derivate...
Tanto per cambiare, non ci dici a che punto di studi sei...
Ma visto che ti preoccupano le derivate, assumo che sarai al liceo.

Cominciamo col dire che se non ci fosse l'attrito, la pallina non
raggungerebbe *mai* il vertice.
E solo in quest'ipotesi il calcolo si puo' fare in modo abbastazna
semplice.

Secondo: tu dici pallina, ma se si tratta davvero di una pallina che
rotola, per piccola che sia, nascono altre terribii complicazioni, che
non ti posso neppure spiegare.
Supponiamo qundi che si tratti di un dischetto o qualcosa del genere,
che scivola senza attrito sulla superficie del cono.

Terzo: quello che hai scritto:
> Credo che la forza che spinge la pallina verso il basso sia la
> somma(vettoriale) della forza peso e della forza centripeta.
e' nettamente errato.
Se dici questo, vuol dire che non hai capito che cos'e' la forza
centripeta (per tua consolazione, non sei affatto solo...).

La forza centripeta in questo problema e' meglio che te la scordi del
tutto: ti dico solo che *non e'* una qualche forza che si aggiunge ad
altre, ma (quando e' utile usarla) e' la forza che *occorre* per
produrre un dato moto.
Le forze _reali_ saranno prodotte da agenti esterni (ora vediamo) e
caso mai sara' la loro risultante che dovra' valere esattamente quanto
la f. centripeta richiesta per quel moto.
Ma nel nostro caso la f. centripeta non serve a niente: non aiuta a
risolvere il problema.

Le forze *reali* sono soltanto due: la forza di gravita' (verticale) e
la reazione vincolare del cono, che e' normale alla superficie, ma di
grandezza incognita.
Questa e' una difficolta', che si supera in questo caso cercando se
c'e' qualche legge generale che non richieda di conoscere quanto vale
la reazione vincolare.
C'e', anzi ce ne sono due:
1) La conservazione dell'energia.
2) La conservazione del momento angolare (calcolato rispetto all'asse
del cono.

Se sai scrivere le corrispondenti equazioni, arrivi molto vicino alla
soluzione del problema.
Pero', se non ricordo male, una soluzione in formule semplici non
esiste.
Tuttavia puoi rispondere ad alcune domande, per es. questa:
date posizione e velocita' iniziale, a quale distanza minima dal
vertice arrivera' il dischetto? E a quale distanza massima?
       

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Tue Jun 14 2005 - 21:38:49 CEST