Il 18 Mag 2005, 21:23, "Hypermars" <hypermars_at_despammed.com> ha scritto:
> Vorrei capire perche' succede cio'. E, da un punto di vista
> formale-notazionale, imparare come si chiama la convergenza di un
integrale,
> come I(a) che *non* permette la procedura mostrata (espandere dentro e
> calcolare separatamente gli ordini successivi). Si chiama convergenza
> condizionata? (condizionata a cosa esattamente?) convergenza debole?
(quanto
> debole?) non-uniforme? puntuale? lenta?...
>
> Un'ultima nota. Di solito, la procedura di espandere l'esponenziale dentro
> all'integrale funziona: esempio (il primo che mi viene, forse e' troppo
> banale)
>
> I(a) = \int exp(-x) exp(-a x) = 1/(1+a)
Vero per ogni valore di a.
> Sviluppo "dopo"
>
> I(a) = 1/(1+a) = 1 - a + a^2 - a^3 + ...
>
> Sviluppo "prima"
>
> I(a) = \int exp(-x) (1 - a x + 1/2 a^2 x^2 + ...) = 1 - a + a^2 - a^3 +
....
Converge solo per |a|<1
> Quando si puo' fare? questa convergenza e' evidentemente piu' "forte" (in
un
> qualche senso che sicuramente in matematica e' perfettamente chiaro e
> quantificato). Come si chiama?
Si puo' fare ogni volta che la serie converge assolutamente.
Nel caso che hai proposto non funziona perche' il logaritmo in campo
complesso ha un punto di diramazione in a = 0. Il raggio di convergenza
per lo sviluppo e' zero. Non si puo' regolarizzare? Per esempio
se sviluppi anziche' per a = 0 per a = \epsilon. Ottieni una funzione
analitica
la cui serie converge assolutamente con raggio di convergenza \epsilon, ma
questa funzione e' analitica e puo' essere rigorosamente estesa a tutta la
sua
superfice di Riemann dove deve coincidere con a ln (a) g(a). Dove g(a) e' la
funzione analitica che ha sviluppo esatto a tutti gli ordini di grandezza e
che
all'ordine zero vale 1.
Mi chiedevo se esiste un legame fra il raggio di convergenza della funzione
ed il raggio di convergenza della funzione inversa. La risposta e' un poco
piu
"complessa". Per esempio le funzioni
esponenziali e le loro combinazioni lineari, omogenee e non, sono singolari
ad infinito, mentre le controimmagini di questi punti ad infinito possono
accumularsi in qualche punto interno al piano complesso. Le cui proprieta'
analitiche saranno certamente singolari. Lo stesso vale per le funzioni
razionali
di e^z. Se le controimmagini dei punti singolari all'infinito si accumulano
da qualche
parte al finito. Nella generalita' dei casi i punti sospetti sono quei punti
del piano
complesso che corrispondono a infiniti valori possibili per l'argomento.
Infatti si
verifica che se Q e' razionale Q(w) = k ammette una funzione inversa w=R(k)
la cui superfice di Riemann ha molteplicita' al piu' finita, in accordo con
il teorema
fondamentale dell'algebra. Pero' siccome w = exp(z) per ricavare z occorre
considerare ln(R(k)) ed il logaritmo invece ha un punto di diramazione per
ciascuno
dei valori di k che annullano R(k). Per esempio la tangente e' una funzione
razionale
dell'esponenziale. Sul piano complesso tende al valore 1 per i punti
dell'asse immaginario
che vanno ad infinito. Dunque fra le controimmagini Atan(1) dell'equazione
tan(z) = 1
esisteranno valori per cui exp(z) = 0. In questi punti non e' da provare a
fare gli sviluppi
di Taylor. Solo un attimo distante ed invece tutto funziona.
E adesso mi spieghi come hai fatto ad ottenere la formula (6)? Ed ancora:
nella formula (7) \hat{m} e' solo la direzione della magnetizzazione? Ma
perche' consideri magnetizzazione uniforme, dovrebbe essere una conseguenza
del fatto di avere un ferromagnete ideale ed uniforme e dunque senza
sorgenti
di rotore all'interno e perfetta linearita' fra campo e materiale. Ma poi
questi
materiali magnetici che consideri dovrebbero avere isteresi e
magnetizzazione
spontanee, devo arguire che consideri solo campi magnetici relativamente
intensi o
ferri davvero dolci. Infine nel limite ultrathin gli effetti di
eterogeneita' non saranno
importanti?
> Grazie,
>
> Bye
> Hyper
>
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Received on Sat May 21 2005 - 19:51:54 CEST