Sembra che Sam_X abbia detto :
> Propongo questa domanda qui perche' si e' persa nei meandri dello spam di
> free.it.scienza.fisica.
>
> dopo un ulteriore studio sulla questione (grazie mille a Tetis per i
> chiarimenti) eccomi ritornato con un "sommario" di alcuni punti fermi che
> vorrei mi fosse confermato:
>
> - parliamo di cristalli uniassici con asse ottico lungo z;
> - immaginiamo di aver gia' traslato k (il vettore d'onda) nell'origine;
> - chiamiamo "ellissoide degli indici" la superficie di eq.
> x^2/n_o^2 + y^2/n_o^2 + z^2/n_e^2 = 1
> - chiamiamo "ellissoide dei raggi" la superficie di eq.
> n_o^2*x^2 + n_o^2*y^2 + n_2^2*z^2 = 1
Dovresti specificare cosa intendi con n_o, n_e, n_2. A me risulta,
seguendo ad esempio la nomenclatura di Born e Wolf, che l'ellissoide
degli indici è:
x^2/e_x + y^2/e_y + z^2/e_z = 1
dove e_x,e_y,e_z sono le costanti dielettriche lungo gli assi normali
all'asse ottico e lungo l'asse ottico rispettivamente. Mentre
l'ellissoide dei raggi è:
x^2 e_x + y^2 e_y + z^2 e_z = 1
> 1) la direzione del raggio straordinario e' la retta perpendicolare al
> piano
> tangente all'ellissoide degli indici nel punto di intersezione tra lo
> stesso
> ellissoide degli indici e il vettore k.
> 2) la direzione del raggio straordinario e' la retta passante per l'origine
> e per il punto rappresentato dall'intersezione tra l'ellissoide dei raggi e
> quel particolare piano ortogonale al vettore k e tangente all'ellissoide
> dei
> raggi.
... queste due costruzioni si applicano rispettivamente alla superficie
dei vettori d'onda del raggio straordinario ed alla superficie dei
raggi del raggio straordinario che sono superfici ellissoidali solo nel
caso di materiale uniassico ed hanno equazioni differenti
dall'ellissoide degli indici e dall'ellissoide dei vettori d'onda
rispettivamente. Le equazioni di queste superfici sono, nel caso di
asse ottico lungo z:
(x/n_e)^2 + (y/n_e)^2 + (z/n_o)^2 = K
(n_e x)^2 + (n_e y)^2 + (n_o z)^2 = K
dove con n_e ed n_o indico rispettivamente l'indice di rifrazione in
direzione ortogonale all'asse ottico e l'indice di rifrazione in
direzione dell'asse ottico (per il raggio straordinario). Vale la
relazione:
n_e^2 = c^2/(e_z mu)
n_o^2 = c^2/(e_x,y mu)
Quindi, nel caso uniassico, a meno di una costante, per il raggio
straordinario la superficie dei vettori d'onda e la superficie dei
raggi prendono la forma:
x^2 e_z + y^2 e_z + z^2 e_x,y = K
x^2 / e_z + y^2 / e_z + z^2 / e_x,y = K
e quindi differiscono rispettivamente dall'ellissoide degli indici e
dall'ellissoide dei raggi.
> Ad esempio vorrei sottoporvi il seguente caso:
>
> http://tinyurl.com/62pmk4g
>
> credo che ci sia un errore nella slide 5 (ray paths for oprtical
> indicatrix), perche' quello disegnato e'
> l'ellissode degli indici, mentre quella particolare proprieta', di cui
> l'autore si serve per disegnare i due raggi, e' propria dell'ellissoide dei
> raggi!
Esiste in effetti una confusione ulteriore possibile: fra la superficie
delle onde normali che rappresenta un vettore lungo come l'inversa
della velocità di fase di propagazione nella direzione del vettore k e
che generalmente non è un ellissoide, e l'ellissoide degli indici che è
definito come l'ellissoide di livello della forma normale associata
alla matrice di prodotto scalare e^(-1) (inversa del tensore
dielettrico e).
Alcuni autori chiamano la prima indicatrice ottica, altri autori
chiamano la seconda con il medesimo nome, ma si tratta di superfici
differenti. L'autore delle slides che hai citato usa il termine di
indicatrice ottica in una terza ulteriore accezione, quello che
descrive è infatti l'ellissoide dei raggi.
Analogamente sono generalmente distinte la superficie dei raggi
(costruita analogamente alla precedente e che generalmente non è un
ellissoide) e l'ellissoide dei raggi.
Nel caso generale non può sussistere confusione alcuna fra le superfici
delle onde, dei raggi e gli ellissoidi degli indici e dei raggi, ma nel
caso di mezzi uniassici, come visto in precedenza, la superficie delle
onde normali e la superficie dei raggi per le onde straordinarie sono
superfici ellissoidali, ma superfici differenti sia dall'ellissoide
degli indici che dall'ellissoide dei raggi. .
La costruzione che hai delineato prima vale in generale per la
superficie dei vettori d'onda e per la superficie dei raggi, ma si
applica anche nel caso degli ellissoidi con uno scopo differente essa
permette infatti di passare agevolmente nel caso 1 dal vettore di
polarizzazione del campo di induzione al vettore di polarizzazione del
campo elettrico e viceversa quando la si applichi alla superficie degli
indici.
Quello che l'autore delle slides rappresenta in questo caso è però,
come dicevo, quello che Born e Wolf e quasi tutti gli autori che si
mantengono nel solco della buona tradizione chiamano ellissoide dei
raggi infatti l'autore utilizza gli indici di rifrazione delle onde
polarizzate lungo z,x,y rispettivamente per definire le lunghezze
dell'ellissoide in queste stesse direzioni e siccome n^2 = c^2/(e mu) a
meno di costanti la superficie che l'autore chiama indicatrice ottica
è:
e_x x^2 + e_y y^2 + e_z z^2 = K
o anche indicatrice ottica (ma Born e Wolf avvisa del fatto che questo
termine è piuttosto vago).
La costruzione che l'autore esibisce in quelle slides è poco nota in
letteratura. Persino Born e Wolf non vi fanno riferimento, tuttavia è
una costruzione esatta. Per dimostrarne la validità si può partire
dalla definizione generale degli ellissoidi degli indici e dei raggi:
D e^{-1} D = 1 = D E = E e E
(da questa caratterizzazione risalta che la differenza fra l'ellissoide
dei raggi e l'ellissoide degli indici sta solamente nella scelta di
attribuire a D il significato di coordinate dello spazio reale e nella
ulteriore scelta fra coordinate dello spazio reale e coordinate dello
spazio duale, nel primo caso si ottiene l'ellissoide degli indici, nel
secondo l'ellissoide dei raggi)
variando questa espressione risulta sia l'ortogonalità di D con E sia
la possibilità di definire la direzione del campo elettrico come il
gradiente della forma quadratica in spazio reale ( D e^{-1} D) e
viceversa il campo di induzione come il gradiente della forma
quadratica in spazio duale.
Una volta riflettuto su questo non rimane che notare che la costruzione
proposta dall'autore consiste nell'individuare un punto Q nell'ellisse
individuato dal piano della direzione del vettore d'onda e dal vettore
di polarizzazione degli automodi con la proprietà che:
(e_x x_Q, e_y y_Q)
sia ortogonale alla direzione del campo di polarizzazione:
(x_P, y_P)
questa condizione equivale a dire che il vettore (x_Q, y_Q) è
ortogonale al vettore (x_P/e_x, y_P/e_y) (ma quest'ultimo rappresenta
il campo elettrico associato al modo di polarizzazione (x_P, y_P)
quindi il vettore (x_Q,y_Q) è proprio il vettore ortogonale al campo
elettrico dell'onda che si propaga lungo la direzione ortogonale ad
(x_P, y_P).
> E' giusto o non ho capito ancora un'emerita mazza?
Non saprei. Per iniziare potresti chiarire come definisci n_o, n_e,
n_2.
> Un'altra cosa ancora: quando un raggio (con vettore d'onda k) proveniente
> da un mezzo isotropo incide su un cristallo anisotropo uniassico, il raggio
> si scinde in due, di cui uno ordinario che segue la legge di Snell (indice
> di rifrazione n_o) mentre l'altro straordinario fa la fine che abbiamo
> descritto sopra.
> Quello che ora mi chiedo: ma il vettore d'onda k si sdoppia anch'esso?
Generalmente si sdoppia anche il vettore k.
> O all'interno del cristallo vi sono due raggi ma un unico vettore k?
>
> Grazie ancora.
>
> Sam
Received on Wed Nov 09 2011 - 09:25:07 CET