Re: Campo elettrico in un condensatore

From: Giorgio Bibbiani <giorgio_bibbianiTOGLI_at_virgilio.it.invalid>
Date: Fri, 11 Nov 2011 15:11:04 +0100

A digg friend ha scritto:
> Perch� l'intensit� del campo elettrico E generato dalla carica libera
> sulle armature di un condensatore (a facce piane) � uniforme?

Intendo che le dimensioni trasverse delle armature del
condensatore siano molto maggiori della loro distanza,
allora il campo elettrostatico E interno a una distanza dai
bordi molto maggiore della distanza tra le armature, e quello
immediatamente esterno, si potra' calcolare come se il
condensatore fosse piano infinito, questa e' l'ipotesi
che assumeremo in seguito.
Non solo l'intensita' del campo E, ma il campo E stesso
e' uniforme nella regione di spazio compresa tra le
armature e nelle regioni di spazio esterne
(all'interno delle armature conduttrici la densita' di
carica macroscopica e il campo E devono essere
nulli all'equilibrio elettrostatico).

Data la simmetria di traslazione in un piano parallelo
alle armature, la distribuzione di carica superficiale
sulle armature sara' uniforme su ciascuna armatura.
Basta quindi calcolare il campo generato da una distribuzione
di carica superficiale sigma uniforme, il campo del condensatore
piano infinito si otterra' poi usando il principio di sovrapposizione.
Fissiamo un riferimento coordinato cartesiano nello spazio xyz
tale che la carica sia distribuita nel piano xy, data la simmetria
di rotazione intorno all'asse z il campo E potra' ovunque avere
solo la componente diretta come l'asse z (altrimenti, in una
rotazione intorno all'asse z il campo in generale cambierebbe
pur non essendo cambiata la distribuzione di carica che lo
genererebbe) e data la simmetria di riflessione nel piano xy
il campo nel semispazio z > 0 si otterra' per riflessione nel
piano xy da quello nel semispazio z < 0, infine data la
simmetria di traslazione nel piano xy il campo ovunque
potra' dipendere solo dal valore della coordinata z.
Dalla legge di Gauss in forma integrale, se Q e' la carica
presente all'interno della superficie chiusa regolare S il
cui elemento infinitesimo orientato verso l'esterno e' ds
(dot = prodotto scalare):
(1) int_{su S} (E) dot ds = Q / eps_0,
applicata alla superficie S di un cilindro circolare retto
avente raggio di base r e avente l'asse di simmetria cilindrica
diretto come z le cui basi abbiano coordinate z_0 > 0 e - z_0,
dato che il campo E sulla porzione di superficie curva del cilindro
e' tangente alla superficie e non da' contributo all'integrale in (1),
allora si ottiene per la componente E_z del campo E:
2 * E_z(z_0) * Pigreco * r^2 = Pigreco * r^2 * sigma / eps_0 =>
(2) E_z(z_0) = sigma / (2 eps_0)
che non dipende da z_0, quindi il campo in tutto il semispazio
z > 0 e' uniforme e ha valore dato dalla (2), nel semispazio
z < 0 il campo e' l'opposto del precedente.
Allora per sovrapposizione anche il campo generato dalla
carica presente sulle armature del condensatore sara' uniforme
nella regione di spazio compresa tra le armature e nelle due
regioni esterne, inoltre, perche' il campo possa essere nullo
all'interno delle armature conduttrici, si verifica immediatamente
che l'unica possibilita' e' che la densita' superficiale di carica
sia distribuita solo sulle superfici interne delle armature e che
le distribuzioni di carica sulle due armature siano uguali e
opposte, posti sigma (positiva) e -sigma i valori delle due
distribuzioni di carica, il campo E avra' intensita' sigma / eps_0
all'interno delle armature e sara' nullo all'esterno.

> E diminuisce coll'aumentare della distanza dalla carica pertanto pi�
> ci si avvicina verso la lamina che "contiene" gli elettroni (anzich� i
> protoni) e pi� E dovrebbe calare. O no?

Non mi e' ben chiaro cosa tu intenda, comunque il motivo per
cui il campo E generato da una distribuzione di carica superficiale
piana infinita e uniforme, in un dato semispazio risulta uniforme e
non dipende da z si comprende forse piu' facilmente con un
calcolo diretto, usando solo la legge di Coulomb.
Valgono le precedenti considerazioni di simmetria, calcolo E_z
nel punto dello spazio P(0, 0, z_0 > 0) e uso coordinate
polari (r, teta, phi) con polo in P e asse zenitale -z:
E_z(z_0) =
(dA e' l'elemento infinitesimo di area nel piano xy)
1/(4 Pigreco eps_0) * sigma * int_{sul piano xy} (cos(teta)/r^2) dA =
(dOmega = cos(teta) dA / r^2 e' l'elemento di angolo solido "visto" da P)
1/(4 Pigreco eps_0) * sigma * int_{sull'angolo solido sotteso
in P dalla distribuzione superficiale di carica) dOmega,
= sigma / (2 eps_0)
cioe' lo stesso risultato ottenuto in precedenza, dal calcolo
si capisce che la mancata dipendenza di E_z dal modulo di z_0
e' dovuta al fatto che l'angolo solido totale 2 * Pigreco che la
distribuzione di carica sigma sottende in P non dipende da z_0,
ovverosia al fatto che considerando il contributo al campo E
della porzione di superficie che viene vista da P sotto un dato
angolo solido, questo contributo non viene a dipendere da
z_0 perche' al variare di z_0 e quindi di r il fattore 1/r^2
nella legge di Coulomb si elide con il fattore r^2
nell'elemento di area dA = dOmega * r^2 / cos(teta)
e i due effetti si compensano vicendevolmente.

Nota: come riferimento v. ad es. La Fisica di Berkeley, vol. 2.

Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Fri Nov 11 2011 - 15:11:04 CET