Re: fermioni, bosoni e deutoni

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Tue, 10 May 2005 21:40:15 +0200

Davide Venturelli ha scritto:
> Uhm...
> ....prendiamo due elettroni liberi. Non potro' mica vedere il sistema
> come un bosone, immagino!
Certo che puoi, ammeso che serva a qualcosa :)

> Ho sentito anche io dei BEC con il rubidio, ma mi sembra incredibile
> che due atomi di rubidio in collisione si comportino come due bosoni,
> potendo ad esempio occupare lo stesso stato.
Il punto sta nel capire che cosa significa "stesso stato": v. dopo.

> Quand'e' che uno stato di piu' particelle elementari segue una
> determinata statistica, esattamente?
Ti si potrebbe rispondere: un insieme di un numero pari di fermioni
e' sempre un bosone; un insieme di un numero qualsiasi di bosoni e' un
bosone.
Ma temo che non saresti soddisfatto, e a ragione.

Per approfondire occorre precisare la descrizione di uno stato
_legato_ di piu' particelle. Se sei al terzo anno, dovreesti avere gli
strumenti per capire, ma appena appena :)

Tetis ha scritto:
> Diciamo che prerequisito per poter parlare di condensazione e' che gli
> oggetti siano nello stesso stato. Delocalizzato e' meglio che
> localizzato,
Ecco: bisogna chiarire che cosa significa "stesso stato".
Ci provo, semplificando qualche punto...

Prendiamo un sistema formato di piu' particelle: indichiamo con
x1...xn le coordinate delle n particelle (nelle x includo la
posizione, e se le particelle hanno spin, anche le "coordinata di
spin", per es. l'autovalore della componente z).
Ovviamente uno stato e' specificato assegnando una funzione d'onda
psi(x1,...,xn); ma si puo' anche farlo in modo diverso: definire la
coordinata del centro di massa X, lo spin totale (mom. angolare nel
rif. del centro di massa: indichero' con Sz la sua componente z) e poi
le coordinate relative al cdm.

Per es. quando abbiamo un atomo, e diciamo che si trova nello stato
fondamentale, in realta' intendiamo che la funzione d'onda complessiva
sia il prodotto di una phi(X,Sz) e di una funzione delle sole
coordinate relative.
"Stato fondamentale" si riferisce soltanto a questa seconda funzione.
(Per es.)^2: posso avere un atomo d'idrogeno nello stato 1s, il cui
centro di massa ha impulso determinato; ma potrei anche avere l'atomo
in una scatola, con una conseguente f. d'onda phi per il cdm.

Ora vediamo la questione della statistica: se hai *due* di questi
sistemi composti, per es. due atomi identici, lo scambio dei due atomi
scambia simultaneamente tutte le coordinate x1...xn di un atomo con
quelle dell'altro.
Se ciascuno dei due sistemi consiste di n fermioni, questo scambio
produrra' n cambiamenti di segno, che equivale a nessun cambiamento se
n e' pari, al segno cambiato se n e' dispari. CVD

Quando dico che i due atomi sono nello stesso stato, intendo:
a) che sono nello stesso stato (per es. fondamentale) per quanto
riguarda le coordinate interne (relative al cdm);
b) che la phi(X,Sz) e' la stessa.
Questo non vuol dire che si trovino per forza nella stessa posizione,
anzi cio' sara' tanto meno probabile quanto piu' la phi e'
"delocalizzata", ossia estesa su una regione spaziale grande rispetto
alle dimensioni degli atomi.

Nel caso del "condensato" gli atomi non sono liberi, ma soo tenuti in
situ da un debole potenziale, ossia si trovano in una buca molto
larga: si verifica appunto la situazione di cui sopra.

A voler essere piu' precisi, dovremo supporre che tra gli atomi ci sia
una qualche interazione repulsiva, che diventa forte quando i loro cdm
sono vicini.
Ma anche in tal caso niente vieta che si trovino nello stesso stato;
solo che la corrispondente phi sara' trascurabile quando i cdm sono
vicini.
(L'ho detto molto male, ma non trovo il modo di spiegarlo meglo senza
conti...)

Nucleo ha scritto:
> Che io sappia, affinch� i modelli tradizionali (statistica di
> Boltzmann) non siano pi� buone approssimazioni del comportamento reale
> devi essere in condizioni di degenerazione. Ad esempio la popolazione
> neutronica in un reattore nucleare � classica e studiabile senza
> errori rilevanti con la statistica di Boltzmann e non con quella di
> Fermi.
Beh, non ci sono solo i due casi limite: Boltzmann e degenerazione.
Puoi avere tutto un continuo di casi intermedi.

Tanto per fare un esempio in carattere col 2005: inun gas di fotoni
al'equilibrio termico hai una transizione dalle basse frequenze dove
c'e' degenerazione estrema, alle alte frequenze (regime di Wien) dove i
numeri di occupazione sono <<1 e vale la statistica di Boltzmann.
Fu proprio la scoperta che dalla legge di Planck seguiva che nellinte
di Wien la radiazione si comportava ai fini dell'entropia come
costituita da particelle di Boltzmann, a portare Einstein all'idea di
fotone, che gli frutto' il Nobel condizionato (si' per l'effetto
fotoelettrico, no per i fotoni...)
                   

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Tue May 10 2005 - 21:40:15 CEST