Re: Trasformate di Legendre

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: Sun, 01 May 2005 23:14:17 GMT

Giovanna_owqyea wrote:


> ------ Punto 1.
>
> Il ruolo standard giocato in termodinamica dalle trasformate di Legendre
> (TDL di qui in avanti) trova, a mio avviso, la pi� lucida rappresentazione
> in
> Sergio Carra - Termodinamica - Bollati Boringhieri
> dove viene discusso ...

Non conosco il libro e non so quando e' stato scritto. Provero' a
cercarlo. Oggi esistono anche altri libri che hanno ripreso l'
approccio di Callen. Anche libri destinati alla formazione di ingegneri
chimici. Questo la dice lunga sull' utilita' dell' approccio, al di
la' dell' aspetto a prima vista "molto formale".

....come fa la TDL a impacchettare dentro l'equazione H=H(S P n)
> tutta l'informazione che era contenuta in U = U(S V n) ? E'chiaro che la
> questione trascende la manipolazione formale dei simboli e richiede una
> pi� profonda comprensione delle strutture matematiche soggiacenti.

Beh, qui diventa cruciale capire cosa intendi per "come fa". Una
spiegazione potrebbe essere la semplice dimostrazione del carattere
involutivo della TDL. Ma sospetto che tu stia cercando una ragione
"altra". Una seconda possibilita' potrebbe essere quella di rimandarti
agli aspetti piu' propriamente geometrici (l' accenno a Clairault). In
  quel contesto la TDL corrisponde a descrivere una superficie come
inviluppo dei suoi piani tangenti. Evidentemente quasta strada puo'
aiutare o meno a seconda della confidenza che uno ha con gli inviluppi
(e coi piani tangenti :-)).
Poi potrebbe eserci ancora qualcosa di piu' profondo ma in tal caso non
e' niente di cui io sappia qualcosa (vedi dopo).


> ------ Punto 2.
.... ho pescato
> il lavoro di Mark Peterson "Analogy between thermodynamics and mechanics"
> (Am. J. Phys. 47(6)) ...

Provero' a leggerlo. Anche se le geometrizzazioni della termodinamica
mi lasciano piu' freddo di quelle della meccanica.

.... � ragionevole ipotizzare che la TDL,
> sostanzialmente, sia una tecnica per generare strutture differenziabili
> diffeomorfe e di trasformare il campo vettoriale le cui curve integrali
> sono le leggi di evoluzione del sistema in maniera tale che di queste
> ultime vengano preservate propriet� essenziali (quali ?? non certo la
> parametrizzazione).
....

Stai studiando sul libro di Romano ? Beh, io sono debitore a Romano
della introduzione alla bellezza della meccanica nella formulazione
geometrica moderna pero' ho studiato sulla versione pre-libro
(dispense) e non ricordo che ci fosse una discussione approfondita delle
TDL.

In realta' le TDL in meccanica hanno lo scopo di far passare da una
descrizione della dinamica sul fibrato tangente ad una equivalente (nel
senso che dia luogo alla stessa dinamica) sul fib. cotangente.

> Tuttavia rimangono aperti gli interrogativi associati a punti chiave:
> (i) dove viene introdotta, dalle TDL, la riduzione di un sistema di
> equazioni differenziali del secondo ordine ad uno del primo?

La trasformazione ad un sistema del primo ordine (riduzione ??) non c'
entra quasi niente con le TDL. Qualsiasi sistema di eq. differenziali di
ordine qualsiasi, purche' in forma normale, puo' essere trasformato in
un sistema equivalente del primo ordine. Basta introdurre come funzioni
ausiliarie le derivate di ordine superiore al primo delle funzioni
incognite. Questo e' ovviamente vero anche per le eq. di Lagrange.
Il quasi dipende dal fatto che, essendo le TDL un modo per passare da
una dipendenza del funzionale generatore dalle \dot q ad una dalle p,
nell' approccio hamiltoniano il sistema del primo ordine viene
introdotto in modo evidente.



> Mi era venuto "un lampo di genio" (mentre picchiavo mio fratello, che si
> lascia spesso malmenare dalla sua sorellina minore; lo ringrazio
> pubblicamente per il suo contributo ai miei studi).

Poi dicono che la geometria differenziale non fa male :-)

> Mi ero detta: se 'sta famigerata figura dell'inviluppo fa comparire le
> rette (che in sostanza sono 1-forme) vuoi vedere che le TDL sono in realt�
> niente altro che la riscrittura del campo vettoriale, che definisce una
> equazione differenziale, in termini di componenti covarianti ?
> E, rispondendo anche a quanto mi veniva chiesto dal prof. Giorgio Pastore

(un grazie se tu e chiunque altro lasciate stare il prof. ... almeno sui
NG :-) )

....
> indici con la matrice metrica ... sono al punto di partenza, con 2n
> equazioni non con n, etc. etc.

No. Non sei al punto di partenza proprio perche' in ogni caso ti servono
2n eq. del primo ordine. E hai capito il "cuore" del passaggio dal
formalismo Lagrangiano a quello hamiltoniano: Lasciare la dinamica
definita sul fibrato tangente per portarla sul fib. cotangente.
La ragione profonda del perche' sta nel fatto che certe strutture
geometriche sono definite in modo naturale sul fib. cotangente e non sul
tangente. Se vuoi avere qualche idea in piu' su questi ed altri
aspetti, il miglior riferimento che ti posso dare e' il libro di T.
Frankel "The geometry of physics. An introduction" Cambridge Press,
1997. Non e' un libro "leggero" ma in alcuni punti ci sono osservazioni
piu' "discorsive" e c'e' un costante tentativo di giustificare il
formalismo.



> ------ Punto 5.
> Sto cercando il Courant e Hilbert "Methods of mathematical physics".

Non aspettarti la luce. Pero' ti potrebbe dare una visione delle TDL
piu' vicina a quella di chi ci arriva per la strada delle eq.
differenziali.

> Ho guadato e l'Abraham e Marsden ma non sono riuscita a trovare nulla
> sulle TDL; mi viene un dubbio: stiamo parlando di "Manifold, tensor
> analysis and applications" ?
No, facevo riferimento al libro di Meccanica analitica. Pero',
se non vuoi farti del male, te lo sconsiglio in questa fase.
....
> P.S.
>
> Perch� nelle Universit� ci trattano cos� ?
> Perch� le cose non ce le spiegano B-E-N-E ?
> E' vero che sto al secondo anno, per� ... !!
> Perch� dobbiamo fare 'ste decifrazioni dei geroglifici del faraone ?

Non credo che *questa* sia una vera situazione di cui lamentarsi. Ci
sono molte cose che potrebbero essere fatte meglio, certo. pero' ci
sono anche casi, e questo mi sembra esemplare, in cui il problema di
poca chiarezza e sistematicita' non dipende da scelte discutibili del
docente (o dalla sua ignoranza) ma da uno stato di relativa mancanza di
chiarezza nella tradizione didattica e nello stesso "status" di certi
argomenti. Io non sono un fisico matematico e i miei interessi per la
meccanica analitica sono da "dilettante". Pero' non ho mai trovato in
letteratura una discussione esaustiva delle TDL che tenesse in conto
simultaneamente tutti i vari risvolti dell' argomento come mi sembra
interessi te.
Complimenti comunque per il livello di approfondimento a cui cerchi di
arrivare al tuo livello (secondo anno triennale immagino). Permettimi
solo un consiglio (non richiesto, quindi cestinabile): non trascurare
gli altri corsi e gli altri argomenti per sviscerare le TDL!

Ciao

Giorgio
Received on Mon May 02 2005 - 01:14:17 CEST