Il 30 Apr 2005, 21:22, gsweew_at_cucoa.it (Giovanna_owqyea) ha scritto:
> Cari amici
> ------ Punto 5.
> Sto cercando il Courant e Hilbert "Methods of mathematical physics".
Provo a riassumere a memoria quello che fa Hilbert con Courant in quel
libro. E se anche non fanno quel che dico io, non crucciartene, perche'
quello
che dico e' essenzialmente corretto. Le biblioteche sono chiuse per la
domenica
ed io non posso accedere in biblioteca di domenica, a differenza dei
normalisti di
qualche decennio fa.
Hai una varieta' differenziabile sopra ci definisci un campo vettoriale.
Ovvero scrivi un sistema di equazioni differenziali, se ti risulta piu'
semplice,
ordinarie e del primo ordine. Queste equazioni differenziali supponiamo
che abbiano soluzioni che coprono la varieta', non e' necessario ma aiuta
la fantasia. Cioe' per ogni punto della varieta' parte una soluzione.
Il sistema lo scrivi per esteso:
x1' = f1(x)
x2' = f2(x)
.....
xn'= fn(x)
x dentro le parentesi e' un vettore. in notazione piu' compatta:
x' = f(x) dove x ed f sono vettori.
Da qualche parte all'inizio ti fanno vedere come questo sistema
e' equivalente, in certe ipotesi di regolarita', a questa equazione
differenziale alle derivate parziali:
(f1(x)*d/dx1 +...+ fn*d/dxn+d/dt)F=0
infatti lungo ogni soluzione del primo sistema ogni soluzione del
secondo e' costante. Allora se abbiamo n funzioni funzionalmente
indipendenti di F, risulta che fissare il loro valore individua,
implicitamente,
un grafico unidimensionale nello spazio (x,t). Ovvero una funzione x(t).
Ora tutto questo e' vero sempre. Ma la dinamica e' espressa in termini
di equazioni differenziali ordinarie, che sono del secondo ordine. La
meccanica
di sistemi che ammettono un potenziale conservativo, puo' inoltre essere
derivata
da una funzione di lagrange. Mediante le equazioni di Eulero-Lagrange.
Cosa sono le equazioni di Eulero Lagrange? Sono solo equazioni differenziali
del secondo ordine. Come ti accorgi esplicitando le derivate rispetto a t
di dL/d_qi'. Dunque il sistema di Eulero Lagrange e' un sistema del secondo
ordine,
ora se scrivi il sistema ti viene naturale cercare di fare una riduzione ad
un sistema
del primo ordine con la posizione:
qi' = hi
pero' ti accorgi che hi' rimane intrappolato nel sistema perche'
moltiplicato
con dei coefficienti variabili. Niente paura, esiste l'algebra lineare e se
la
matrice dei coefficienti di hi' e' invertibile puoi esprimere hi' come una
funzione
di hi e di qi. E' pero' su questo passaggio che intervenne, ritengo, la
genialita'
di Legendre. Infatti quello che egli nota e' che non e' necessario tenersi
la variabile
ausiliaria hi = qi', ma si possono cercare delle variabili ausiliarie piu'
comode.
Adesso prova a sostituire hi con (dL/dqi') direttamente nelle equazioni di
Eulero Lagrange e chiediti quale sia la condizione per la quale questa L
e' invertibile. Quello che trovi e' che indubbiamente dL/dqi' e' invertibile
se
l'hessiano rispetto alle variabili qi' e' non nullo. Un teorema di analisi
due
che a Pisa insegnano ancora, dato che e' li' che Dini lo ha escogitato.
Evitiamo di aver paura, c'e' da fare un solo passettino ulteriore, ricordare
che
la condizione di non nullita' del determinante hessiano equivale
all'invertibilita'
e che la permanenza del segno dell'hessiano e' sicuramente implicata
dalla convessita' della funzione che lo genera. Ora inizia la parte
geometricamente
piu' entusiasmante della vicenda. Se guardi la forma che prende adesso il
tuo sistema
di equazioni differenziali noti una espressione molto semplice.
p_i ' = d/dt (dL/dqi') = dL/dq_i
q_i' = f(pi, qi, t).
Questo e' l'aspetto rilevante della TDL. Dal punto di vista elementare. Per
quanto
riguarda la nozione di varieta' legendriana al tempo in cui ne lessi sul
libro di Arnold
mi dissi che avrei dovuto rimandarne lo studio dopo un eventuale esame di
geometria
avanzata. Che nemmeno a Pisa pero' e' obbligatorio, ne' consigliato a dire
il vero.
Siccome poi non l'ho messo in piano di studi, quelle pagine di Arnold sono
rimaste
un magnifico cuneiforme. In cui si intravede una superiore capacita' di
Arnold di
leggere nella struttura della dinamica.
Per quanto riguarda il caso di cui chiedevi, ovvero se la lagrangiana non e'
convessa,
mi pare che Hilbert e Courant qualcosa dicano su come si tratti quel caso
con l'ausilio
di variabili aggiuntive. Da questo punto in poi, dopo che hai scritto
l'azione di Hilbert,
p dq - H dt
ed hai scoperto che esiste una forma dp^dq che se conservata conserva anche
l'azione, comincia l'avventura nel meraviglioso mondo delle trasformazioni
canoniche e poi con molta astrazione e geometrizzazione il mondo delle
varieta' di contatto.
> Ho guadato e l'Abraham e Marsden ma non sono riuscita a trovare nulla
> sulle TDL; mi viene un dubbio: stiamo parlando di "Manifold, tensor
> analysis and applications" ?
No il libro di cui parla Giorgio credo sia un altro.
> Ciao moderatore, ti sono grata di esserti sorbito 'sto papiro
> interminabile.
>
> Giovanna
>
> P.S.
>
> Perch� nelle Universit� ci trattano cos� ?
> Perch� le cose non ce le spiegano B-E-N-E ?
> E' vero che sto al secondo anno, per� ... !!
> Perch� dobbiamo fare 'ste decifrazioni dei geroglifici del faraone ?
>
>
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Received on Sun May 01 2005 - 22:35:50 CEST