Il 02 Mag 2005, 16:40, Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it> ha scritto:
> Tetis wrote:
> ...
> > In verit� l'approccio di
> > Hilbert e Courant � proprio volto ad evidenziare che la
> > trasformata di Legendre ha un ruolo specifico nel dare
> > un'espressione semplice alle equazioni differenziali.
>
> Si' ma la semplicita' non sta nel fatto di arrivare ad un sistema di 2n
> eq. del primo ordine invece che n del secondo.
Ho fatto come mi ero riproposto, ho visto in che casi aiuta ed anzi ho
riaperto il Courant Hilbert. Anzitutto devo ammettere una cantonata.
Non mi ricordavo affatto lo spirito del problema. Il carattere involutivo,
come dicevi, me lo ricordavo ma non lo avevo affatto evidenziato.
Me ne dispiaccio.
Poi ho guardato gli esempi di Courant ed Hilbert. Sono tutti riferiti ad
equazioni differenziali a derivate parziali. E per� non si capisce
perch� uno debba andare a pensare ad un nesso fra l'uso che si fa
della trasformata di Legendre nella teoria delle equazioni differenziali
alle derivate parziali e l'uso apparentemente del tutto diverso che se
ne fa in Meccanica e Termodinamic per trasformare le equazioni ordinarie
di Eulero Lagrange nelle equazioni di Hamilton o per passare da una forma
hamiltoniana ad un altra. Temo che la generalit� della struttura non si
apprezzi
se non a posteriori, dopo avere sviluppato la teoria di Hamilton Jacobi e
delle
trasfrormazioni canoniche.
Mi potrei associare alla domanda iniziale: c'� qualcuno che l'ha
capita la trasformata di Legendre, a parte Arnold, diciamo?
Consapevole del potenziale offensivo di questa domanda e
delle difficolt� pratiche che comporta l'insegnamento
devo mitigarne la portata. Sono in tanti ad avere certo un quadro
parziale e pratico. Mentre non � da escludere che siano in pochi ad
avere seguito un percorso di studi che consente di abbracciare tutte le
implicazioni ed i cambiamenti di punti di vista connessi con la trasformata
di Legendre. Allora questo limite non pu� che riflettersi inevitabilmente
nelle
presentazioni didattiche che oltretutto devono fare i conti con i limiti di
tempo
e con la difficolt� di accordare fra loro i programmi delle diverse
discipline.
Tornando all'uso pratico delle osservazioni di Hilbert e Courant che servono
in termodinamica e meccanica al livello pi� basso, ovvero passare da un
potenziale ad un altro e passare dalla descrizione lagrangiana a quella
hamiltoniana mi sembra che quello che si usa � proprio poco. Ovvero
null'altro che la definizione unita all'osservazione che commuta una
derivata
parziale in un numero e viceversa un numero in una derivata parziale.
Mentre riesprime la funzione di partenza come somma di una nuova
funzione e di una combinazione bilineare. Meglio scriverla: l'effetto
della trasformata di legendre rispetto alle variabili x,y sulla funzione
u(x,y) �:
du/dx = \csi
du/dy = \eta
d(\omega)/d(\csi) = x
d(\omega)/d(\eta) = y
u = \csi d\omega/d\csi + \eta d\omega/d\eta - \omega.
dove \csi ed \eta sono le coordinata di Legendre la cui
interpretazione geometrica � che sono le coordinate dei
piani di inviluppo, ovvero le derivate, mentre \omega
esprime "la quota del piano" di inviluppo ed � una funzione
di csi ed eta. Chiss�, forse che a Lagrange vedendolo scritta sulla
lavagna del collega Legendre venne il pensiero che permettesse
una connessione con le equazioni di mr. Hamilton?
Oppure il percorso inverso, chiss� che a Legendre vedendo
scritte le equazioni del signor Lagrange non sia balenato
per un attimo la somiglianza e poi l'identit� con la sua
trasformazione geometrica maturata nei dibattiti con
Monge e gli ingegneri che si occupavano delle problematiche
di inviluppo, insieme con la signorina Sophie Germaine ed
in corrispondenza con il signor Pluecker.
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Received on Mon May 02 2005 - 21:11:43 CEST