Re: Trasformate di Legendre

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Mon, 02 May 2005 21:43:55 +0200

Giovanna ha scritto:
> Dopo qualche giorno di riflessione torno sulla faccenda delle
> trasformate di Legendre. Vi ringrazio molto per le vostre risposte e
> provo, nel seguito, a ragionare un p� ad alta voce su questo
> argomento.
Anche su questo argomento ero riluttante a intervenire, ma per una
ragione diversa.
La ragione e' che ci sono troppe cose che non credo di aver ancora
capito...
Ma forse proprio questo mi permettera' di rispondere ad alcune delle
domande di Giovanna (solo alcune :) ).

> ...
> come fa la TDL a impacchettare dentro l'equazione H=H(S P n) tutta
> l'informazione che era contenuta in U = U(S V n) ? E'chiaro che la
> questione trascende la manipolazione formale dei simboli e richiede
> una pi� profonda comprensione delle strutture matematiche soggiacenti.
Ecco: qui per es. mi piacerebbe saperti rispondere, ma non ci sono
ancora arrivato.
Ancora? direte voi: se non ci sei arrivato alla tua eta', meglio che
lasci ogni speranza...
Ma siccome "spes ultima dea" :)

> Ero ferma a questo punto. Vagavo in una valle di dolore, quando ho
> pescato il lavoro di Mark Peterson "Analogy between thermodynamics and
> mechanics" (Am. J. Phys. 47(6))
Domanda: come l'hai pescato?
Io non lo conoscevo. Ora l'ho letto (un po' di fretta) e poi diro' che
effetto mi fa.

> dove si mette in rilievo che
> - la termodinamica possiede una naturale struttura simplettica
> - la termodinamica possiede delle sue proprie parentesi di Poisson
> fondamentali
> [T,S] = -1
> [V,P] = -1
> ...
> Allora, se i potenziali termodinamici hanno ciascuno il ruolo di
> "hamiltoniana del sistema" � ragionevole ipotizzare che la TDL,
> sostanzialmente, sia una tecnica per generare strutture
> differenziabili diffeomorfe e di trasformare il campo vettoriale le
> cui curve integrali sono le leggi di evoluzione del sistema in maniera
> tale che di queste ultime vengano preservate propriet� essenziali
> (quali ?? non certo la parametrizzazione).
Onestamente non ho capito, ma ti faccio un'obiezione.
La TDL in meccanica fa passare dal formalismo lagrangiano a quello
hamitoniano e viceversa. Ma l'hamiltoniana e' unica.
Invece sembrerebbe che intermodinamica tutti i potenziali possano fare
da hamiltoniane. C'e' dunque una differenza strutturale?

Ora pero' dico l'impressione sull'articolo di Peterson.
Non mi e' piaciuto.
Puo' darsi che ci sia del vero, ma io non l'ho capito.
Inoltre ci sono cose certamente sbagliate: per es. dice che la
struttura simplettica e' determinata dalla 2-forma
dT^dS + dV^dP (22)
che purtroppo e' identicamente nulla, in conseguenza della
dE = T dS - P dV (21).
Inoltre non si capisce quante dimensioni abbia secondo lui lo
spazio delle fasi: 2 o 4?
Comunque ci ripensero'

Il fatto e' che io le strutture simplettiche non le ho ancora (aridaje
co 'sto "ancora"!) digerite...

> ...
> (ii) se si confronta quanto scrive Romano con quanto scrive Arnold
> (Teo. geom. delle eq. diff. ord.) si forma forte il sospetto che l'uso
> che si fa in meccanica delle TDL sia tutt'altro che 'naturale' nel
> senso che far intervenire come dominio e codominio della mappa variet�
> con strutture topologiche e differenziali appare sovrabbondante
> rispetto alle richieste minimali perch� se ne possa parlare, che �
> solo l'esistenza di una struttura lineare.
Questa frase l'ho capita poco.
Sai Giovanna che certe volte ti esprimi come Tetis? :-))

Comunque: "struttura lineare" dove?
Lo spazio delle configurazioni e' una generica varieta', di topologia
qualunque. La struttura differenziale mi pare inevitabile.
La struttura lineare ce l'hai sullo spazio tangente...

Inoltra la teoria hamiltoniana contiene anche risultati integrali.
Gli integrali primi si definiscono mediante flussi di fase che
commutano con quello hamiltoniano.
Tutta 'sta roba va alquanto al di la' della struttua lineare, no?

> Perch� nelle Universit� ci trattano cos� ?
> Perch� le cose non ce le spiegano B-E-N-E ?
Forte della mia confessione di cui sopra, ti do una risposta diversa
da quella di Giorgio.
Ma che pretendi da questi poveri professori?
Quanti credi ce ne siano che insieme
a) sappiano la fisica
b) riescano a padroneggiare questi concetti?
Non voglio dire che non ce ne sia nessuno, ma insomma...
Senza contare che vorrei vedere che succederebbe se un prof _al secondo
anno_ si mettesse ad approfondire 'ste cose :-)

Giorgio Pastore ha scritto:
> ...
> Permettimi solo un consiglio (non richiesto, quindi cestinabile):
> non trascurare gli altri corsi e gli altri argomenti per sviscerare le
> TDL!
Aggiungo la mia adesione al consiglio "cestinabile".

Dico anche che nella mia ormai lunga epserienza ho visto alcuni
studenti che si sono "persi" proprio perche' rifiutavano di andare
oltre o di studiare altre cose, in quanto insoddisfatti di alcuni
punti per loro centrali.
Per quanto possa sembrare insoddisfacente, e' meglio non pretendere di
capire tutto da principio. Acquistando maturita' e maggiori
conoscenze, cose che erano apparse oscure diventano piu' chiare.

Se tu sapessi quante cose io le ho capite solo a 40 anni, e anche
ben oltre...
Per me c'e' sempre stato un test: ritengo di aver capito una cosa
quando mi sento d'insegnarla.
Anche se e' vero pure il viceversa: che solo quando ci si prova a
insegnare, si e' costretti a capire :)
                                                    

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Mon May 02 2005 - 21:43:55 CEST