Cari amici
Per poter fare una buona domanda occorre aver compreso qualcosa
dell'argomento trattato.
Non � il mio caso. Perci�, citando un personaggio che dovrebbe essere ben
noto ai frequentatori di questo gruppo, vi prego di considerare questo
messaggio un "atto di disperazione" !
IL problema � questo: sto preparando meccanica razionale ed
immancabilmente nel passaggio dal formalismo lagrangiano a quello
hamiltoniano sono state evocate le trasformate di Legendre (nel seguito,
TDL).
Ho consultato, Arnold (Metodi matematici della meccanica), Callen, e tutta
la mercanzia in voga in questi frangenti ma, sebbene abbia compreso la
liturgia del procedimento, me ne sfuggono completamente le ragioni.
La trattazione delle trasformate di Legendre pi� completa che conosca �
riportata in Arnold - "Metodi geometrici della teoria delle equazioni
differenziali ordinarie". Ma �, (che Arnold mi perdoni!), illeggibile (per
me, almeno!).
1. In vari testi di geometria differenziale si presenta la TDL come una
trasformazione del fibrato tangente in quello cotangente e se ne fornisce
l'espressione coordinata.
Mi chiedo:
1a: ma 'sta cosa agisce solo sui campi semispray o su un qualsiasi campo ?
1b. in questo genere di trattazione svanisce la richiesta che la curva da
trasformare sia convessa (posta nelle trattazioni elementari) ? Ed in
questo caso come definire la convessit� di una curva su una variet�
differenziabile ?
1c: questa presentazione coordinata della TDL � necessaria o di questa
esiste una definizione intrinseca (ad esempio, del tipo: la TDL � l'unica
applicazione involutiva che ....)
1d: ma per definire la TDL occorre necessariamente scomodare strutture
differenziabili ?
Non la si potrebbe introdurre semplicemente tra spazi di Banach ? O tra
spazi vettoriali ?
Il summenzionato e (che Arnold mi perdoni!) vituperato enigma a forma di
libro ("Metodi geometrici della teoria delle equazioni differenziali
ordinarie") recita:
"La TDL � un caso particolare di una costruzione generale delle geometria
proiettiva ...
Lo spazio proiettivo degli iperpiani dello spazio proiettivo RP^n si
chiama duale di RP^n ....
La TDL non � altro che i passaggio da una curva a quella proiettivamente
duale, scritta in coordinate affini....
La dualit� proiettiva consente di studiare casi pi� generali di quelli
considerati con l'aiuto della TDL ..."
Arabo, arabo allo stato puro (per me, almeno!).
E quant'anche lo avessi capito, uno spazio proiettivo non � munito, di per
se, di una struttura topologica e di conseguenza non pu� essere (a meno di
imposizione di strutture ulteriori) carrier di uno spazio vettoriale
rispetto a cui porre il problema della ricerca delle curve integrali (che
� in ultima analisi la finalizzazione delle equazioni di Lagrange ma, a
loro modo, anche di quelle di Hamilton).
E sorvolando pure su questo: ma come c'entra tutto questo con la riduzione
di un sistema di tipo lagrangiano (del secondo ordine) in un hamiltoniano
(del primo) ?
Ho lungamente cercato con Google materiali che potessero aiutarmi a
sciogliere l'enigma.
Ho preso un t� bollente e della valeriana.
Ho letto Saletan ("Theoretical mechanics"), Haud e Finch, Makunda.
Ho letto il, peraltro pregevole, libro di Benenti ("Modelli matematici
della meccanica classica").
Ci ho pensato per una settimana.
Tutto questo non � servito a niente.
Non so a che santo votarmi.
Mi aiutate ? Anche indicazioni bibliografiche sono benvenute !
Grazie, grazie !!!
Giovanna
P.S.
Domanda strana ma sensata: "la circostanza che tutti 'sti libri si
rimpallino l' "algoritmo" delle TDL senza illustrarne il significato, non
� che, per caso, sia indizio del fatto che delle TDL non ci ha capito
veramente niente nessuno ?"
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Received on Mon Apr 25 2005 - 23:16:15 CEST