Perturbazioni dipendenti dal tempo (visuale di interazione, serie di Dyson)

From: kerneltrap <bitumecatrame_at_googlemail.com>
Date: Mon, 17 Oct 2011 11:12:17 -0700 (PDT)

Sto cercando di capire qualcosa riguardo alla teoria delle
perturbazioni dipendenti dal tempo in meccanica quantistica.

Poniamo di avere un'hamiltoniano Htot = H + V, dove V � la
perturbazione. Mi va bene la definizione della "visuale di
interazione" (interaction picture), in cui si riesce a scrivere
un'equazione formalmente uguale a quella di Schroedinger, in cui per�
lo stato evolve nel tempo (e l'evoluzione � data dalla perturbazione),
ma anche gli operatori dipendono dal tempo, con dipendenza
dall'hamiltoniano completo.

Mi trovo allora di fronte ad un'equazione del tipo

i*hbar * d/dt psi_I = V_I * psi_I

dove il pedice I indica la visuale di interazione. ora leggo che
questa equazione si potrebbe risolvere formalmente come

psi_I = exp[ 1/(i*hbar) \int_{t_0}^t V_I(t')dt' ] psi_I(t_0)

ma che in realt� questo non si pu� fare, perch� nell'esponenziale
(visto come somma della serie) i termini in V_I non commutano e vanno
dunque scritti in un ordine preciso. Occorre dunque introdurre
l'operatore di ordinamento temporale, che porta poi alla serie di
Dyson...

Ebbene, due cose non riesco proprio a capire:

1. come si ottiene quella soluzione "formale" con l'esponenziale
dell'integrale? Non mi pare un passaggio immediato.

2. a cosa serve questo operatore di ordinamento temporale? Dico bene
che serve a risolvere una situazione altrimenti ambigua, dal momento
che nella definizione dell'esponenziale non si specifica l'ordine dei
prodotti che compaiono nella serie, mentre noi vogliamo che questo
risulti specificato?

Spero che le formule che ho scritto e le mie domande risultino
comprensibili.

Grazie
Received on Mon Oct 17 2011 - 20:12:17 CEST