Re: Velocità relativistiche e gravitÃ

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Tue, 18 Oct 2011 17:41:37 +0200

Sembra che Elio Fabri abbia detto :

> Quanto al mio ragionamento, avevo annunciato un appunto scritto, ma mi
> sono fermato in attesa di chiarire la misteriosa formula (16): se
> infatti si tratta di un risultato ben noto, visto che e' molto diverso
> dal mio, dovrei capire come si giustifica, per decidere se ho scritto
> c...ate :)
>
> Comunque vi accenno molto sommariamente le basi del mio ragionamento.
> 1. Geom. di Schwarzschild.
> 2. Mi metto in un lab. *fermo* (r, theta, phi costanti) e studio il
> moto di un corpo che segue una geodetica di tipo tempo.
> 3. Distinguo due casi particolari: cauta radiale e moto tangenziale.
> Di questi, il primo e' molto piu' semplice.
> 4. Questo moto nel rif. (lab.) accennato appare accelerato: le misure
> di spazio e di tempo le faccio usando tempo e lunghezza proprie del
> lab., che ovviamente differiscono dalle coord. di Schw.
> 5. Trovata l'accelerazione, la collego alla forza usando la dinamica
> della RR, e cosi' ottengo la forza misurata nel lab.
> 6. Nel caso del moto tangenziale c'e' una difficolta' addizionale:
> dato che le sezioni spaziali non sono euclidee, anche una geodetica di
> tipo spazio e' curva, e la curvatura (acc. centripeta) dovuta alla
> gravita' va corretta sottraendo questa curvatura.
> 7. Alla fine, trovo che in entrambi i casi la forza e' proporzionale al
> prodotto M*m*gamma.


Seguendo questa impostazione ed il paragrafo 88 di Landau, problema 1,
giungo alla tua stessa conclusione: per una metrica costante statica,
cioè indipendente dal tempo e senza termini metrici di tipo misto
spazio-tempo, come è il caso della metrica di Schwarzschild, la forza
che agisce su una particella in moto con velocità spaziale di
laboratorio v risulta:

f = - mc^2 gamma(v) grad(ln(g_00)/2)

mentre l'accelerazione di un corpo in quiete nello stesso punto è
naturalmente ottenuta utilizzando questa stessa formula con v = 0 e
ricordando che la forza nel limite newtoniano è pari ad ma quindi
risulta:

a = - c^2 grad(ln(g_00)/2)

perciò in termini dell'accelerazione, misurata dai dinamometri o dagli
esperimenti di moto libero dei gravi nel laboratorio, la forza che
agisce su un punto materiale in moto in questa metrica è certamente:

f= m a gamma(v)

Per quanto riguarda i termini quadratici nella velocità facilmente
possono residuare da un errore di calcolo. Il fatto che non compaiano
dipende infatti da una cancellazione esatta fra i termini che compaiono
dall'equazione geometrica del moto, che esprime la derivata della
velocità rispetto al tempo locale ed uguali termini che provengono
dalla derivata covariante dell'impulso, basta dimenticarsi di tenere
conto della connessione nel calcolare la derivata dell'impulso per
trovarsi dei termini quadratici in beta simili al primo termine in
parentesi dell'equazione 16 di Okun.

Per avere un comportamento anisotropo della forza, dipendente dalla
direzione relativa del campo e della velocità il discorso è più
delicato, occorrerebbe che la metrica avesse delle componenti miste di
tipo tempo-spazio, ma nessuna approssimazione della metrica di
Schwarzschild può dar luogo a termini di questo tipo. Più facilmente
potrebbero comparire usando coefficienti di Christoffel approssimati o
erroneamente calcolati.

L'unico caso in cui termini del genere potrebbero sortire, non per un
errore di calcolo ma per una particolare scelta di coordinate diverse
da quelle consuete di Schwarzschild come di Einstein è il caso in cui
si ridefinisse la coordinata temporale come una qualche funzione
t(r,theta,phi,t_s). Qui intendo che t_s è la coordinata temporale di
Schwarzschild. In questo caso infatti potrebbero comparire termini
misti di tipo spazio-tempo nella metrica. Ad ogni modo una semplice
ricalibrazione centrale cioè del tipo t(r,t_s) non porterebbe alcuna
anisotropia nelle misure di forza.

Curiosamente Okun, nel suo libro, secondo il link proposto recentemente
da Aleph cita proprio la formula 3 della sezione 87 del Landau, che è
la formula di Newton generalizzata al caso della relatività generale,
come punto di partenza per calcolare la forza del campo gravitazionale
su un punto materiale, ma non considera che il calcolo esatto della
forza che sta cercando, ammesso sia quello che capisco dalle sue
parole, può essere effettuato in modo generale nel caso di metrica
statica, ed in modo esatto per la metrica statica di Schwarzschild,
quanto meno per le particelle dotate di massa di riposo.

Tenendo conto dell'espressione per l'energia (costante del moto):

E = mc^2 gamma(v) g_00^(1/2)

l'espressione già ricavata per la forza prende la forma generale:

f = - (E/(g_00)^(1/2)) grad(ln(g_00)/2)

nel caso particolare della metrica di Schwarzschild risulta:

g_00 = (1-r_g/r)

ovvero, ricordando che r_g = 2 GM/c^2:

f = GMm gamma(v)/[(1-r_g/r)r^2]

ed in termini dell'energia:

f = GM (E/c^2)/(r^2(1-r_g/r))

Received on Tue Oct 18 2011 - 17:41:37 CEST