Re: Perturbazioni dipendenti dal tempo (visuale di interazione, serie di Dyson)

From: Tetis <ljetog_at_yahoo.it>
Date: Wed, 19 Oct 2011 00:04:48 +0200

kerneltrap ha usato la sua tastiera per scrivere :
> Sto cercando di capire qualcosa riguardo alla teoria delle
> perturbazioni dipendenti dal tempo in meccanica quantistica.
>
> Poniamo di avere un'hamiltoniano Htot = H + V, dove V è la
> perturbazione. Mi va bene la definizione della "visuale di
> interazione" (interaction picture), in cui si riesce a scrivere
> un'equazione formalmente uguale a quella di Schroedinger, in cui però
> lo stato evolve nel tempo (e l'evoluzione è data dalla perturbazione),
> ma anche gli operatori dipendono dal tempo, con dipendenza
> dall'hamiltoniano completo.
>
> Mi trovo allora di fronte ad un'equazione del tipo
>
> i*hbar * d/dt psi_I = V_I * psi_I
>
> dove il pedice I indica la visuale di interazione. ora leggo che
> questa equazione si potrebbe risolvere formalmente come
>
> psi_I = exp[ 1/(i*hbar) \int_{t_0}^t V_I(t')dt' ] psi_I(t_0)
>
> ma che in realtà questo non si può fare, perché nell'esponenziale
> (visto come somma della serie) i termini in V_I non commutano e vanno
> dunque scritti in un ordine preciso. Occorre dunque introdurre
> l'operatore di ordinamento temporale, che porta poi alla serie di
> Dyson...
>
> Ebbene, due cose non riesco proprio a capire:
>
> 1. come si ottiene quella soluzione "formale" con l'esponenziale
> dell'integrale? Non mi pare un passaggio immediato.

Considera l'equazione differenziale:

k y' = f y

dividi per y e trovi:

k d(ln(y))/dt = f

integri ambo i membri e trovi y dall'esponenziale, questo nel caso che
f fossero numeri.

Se invece y fosse un vettore ed f una matrice l'algebra scritta non ha
alcun senso tuttavia si può seguire una via alternativa di soluzione:
considera infatti:

y' T/n = (f(0)/k) y T/n

questa è una stima al primo ordine della variazione di y nel tempo T/n.
Quindi dopo il tempo T/n il nuovo valore del vettore sarà stimato da:

y(T/n) = (1 + f(0)/k * T/n) y(0)

iterando n volte questa procedura ottieni una stima del valore della
funzione al tempo T. L'osservazione che se f è una costante:

(1 + f/k * T/n)^n tende a exp(f/k * T)


nel caso che f sia variabile abbiamo già visto per altra via che ad:
f/k * T occorre sostituire l'integrale della funzione da 0 a T,
suggerisce di cercare di vedere cosa cambia nella dimostrazione del
nesso con l'esponenziale se f ha argomenti in un'algebra non
commutativa, il limite per n che tende a zero dell'espressione con i
prodotti si chiama prodotto di Trotter e può essere preso come una
definizione di esponenziale t ordinato. Nota infatti che i termini di
primo ordine nello sviluppo del prodotto convergono all'integrale
semplice, i termini di secondo ordine ad un integrale annidato che nel
caso di argomento commutativo può essere ridotto a metà del quadrato
del primo integrale, etc... in breve tutti questi termini convergono
allo sviluppo in serie dell'esponenziale, questo giustifica il fatto
che quando i prodotti non sono riordinabili perché non vale la
proprietà commutativa noi chiamiamo esponenziale T-ordinato la serie
degli integrali che ne risulta.


> 2. a cosa serve questo operatore di ordinamento temporale? Dico bene
> che serve a risolvere una situazione altrimenti ambigua, dal momento
> che nella definizione dell'esponenziale non si specifica l'ordine dei
> prodotti che compaiono nella serie, mentre noi vogliamo che questo
> risulti specificato?

Non è esattamente così: il metodo che ho selvaggiamente tracciato con
opportune ipotesi conduce a dimostrare che il cosiddetto esponenziale
T-ordinato che risulta dopo il limite è proprio la soluzione
dell'equazione. E non c'è alcuna ambiguità.


> Spero che le formule che ho scritto e le mie domande risultino
> comprensibili.
>
> Grazie

Received on Wed Oct 19 2011 - 00:04:48 CEST