Re: il paradosso dei due palloncini

From: Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it>
Date: Sat, 26 Feb 2005 21:29:34 +0100

Paolo Russo ha scritto:
> "Sicuramente" mi pare eccessivo.
OK, ho sbagliato... Credo che l'abbiate ormai capito tutti (non so se
ne hanno anche parlato a "porta a porta" :-)))
Quando mi capita una cosa cose', poi tresto per un bel po' a chideremi
che cosa mi ha indotto a dire quello che ho detto: inquesto caso non ci
sono arrivato.
Comunque per espiare ora vi presento la mia teoria del fenomeno.

Assumero' che la deformazione del palloncino (sferico) sia elastica.
Il che non vuol dire una relazione lineare tra sforzo e doformazione,
ma solo che ci sia reversibilita' (deformazione non plastica).
Cosi' mi e' possibile attribuire a ogni stato digofniamento del
pallone, ossia a ogni raggi, una "energia elastica", che sara'
funzione del raggio: E(r).

La pressione dovuta al pallone, che dara' la differenze tra la
pressione esterna e quella interna, si esprime come p = dE/dV =
(dE/dr)/(4*pi*r^2).

Sara' dunque p1 > p2 se

(1/r1^2)*(dE/dr)_(r=r1) > (1/r2^2)*(dE/dr)_(r=r2)

e avremo equillibrio stabile r1=r2 se e solo se

(1/r^2)*(dE/dr) e' funzione crescente di r.

Se supponiamo per es. E = k*r^2 (energia prop. all'area) abbiamo

(1/r^2)*(dE/dr) = 2k/r e la condizione non e' soddisfatta.

Se poniamo E = k*r^n, l'equilibrio sara' stabile solo per n>3.

Questo non accade di regola, ma potrebbe essere cosi' quando il
palloncino e' vicino al limite elastico: sta per scoppiare...

Nel caso delle bolle di sapone E e' esattamente prop. all'area, quindi
sicuramente la situazione a palloncini uguali e' instabile.
Era l'unica cosa di cui avevo diritto di essere sicuro...

Per chi ha chiesto come si fa a vedere quello che succede con le bolle
di sapone: si tratta di un esperimento classico, che si puo' fare
anche con mezzi artigianali, disponendo di tubetti che si collegano a
T, in modo da poter a volonta' soffiare aria in un ramo o nell'altro
della T.
Agli estremi di questa si formano le bolle, poi si chiude il gambo
inferiore lasciando comunicanti gli altri, e si guarda che succede.
Spiegazione canina: se qualcuno sa spiegare meglio...

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Elio Fabri
Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Sat Feb 26 2005 - 21:29:34 CET